7.2 多元函数的概念

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1、7.2、多元函数的概念一、多元函数的定义n1.n维空间R.n由n元有序实数组(x,x,,x)全体组成的集合称为n维空间,记作R,12nn即R{(x,x,,x)xR,i1,2,,n},12nin其中每个有序实数组(x,x,,x)称为R中的一个点(也称为这个点的坐标),12nn个实数x,x,,x就是这个点的坐标分量.12nnn维空间R中的任意两点P(x,x,,x)与Q(y,y,,y)间的距离定义为:12n12n222PQ(yx)(yx)(yx).1122nn2.n元函数的定义n定义7.3:设D是R中的一个非空点集,若有一个对应规则f,使得对于D内每

2、一个点P(x,x,x)D,都能由f唯一地确定一个实数y,则称12n对应规则f为定义在D上的n元函数.记yf(x,x,x),(x,x,x)D,或yf(P),PD,12n12n其中(x,x,x)称为自变量,y称为因变量,点集D称为函数的定义域,12n一般记为D(f).而f(x,x,x)称为(x,x,x)所对应的函数值,有时记为:12n12nyf(x,x,x).(x,x,x)12n12n全体函数值的集合,记为R(f),称为函数f的值域.即R(f){yyf(x,x,x),(x,x,x)D(f)}.12n12nn注:定义7.3中n元函数的记法yf(P

3、),PD,DR,称为"点函数"记法.这样可使n元函数与一元函数在形式上保持一致.当n1时,即得到一元函数yf(x),xD,DR;2当n2时,即得到二元函数,记为zf(x,y),(x,y)D,DR,2或zf(P),PD,DR.多元函数的概念仍包含两个要素:对应规则与定义域.二元与二元以上的函数统称为多元函数.3.二元函数的定义域与几何图形二元函数的定义域解析表示的二元函数定义域定义为:使解析式中的运算有意义的自变量取值全体.例:求函数zln(xy11)arcsin(xy)的定义域D,并作出D的示意图.y解:要函数zln(xy11)arcs

4、in(xy)有意义,必须要:1xy10xy1xy1x1xy110xy11xy01oxy11xy11xy11xy0.1xy1即D{(x,y)xy0,1xy1},D的图形为:22例:求函数zlnln(5xy)的定义域D,并作出D的示意图.225xy022解:要函数zlnln(5xy)有意义,必须要:22ln(5xy)0225xy022225xy1xy4.225xy1y22即D{(x,y)xy4},D的图

5、形为:2xo二元函数的几何图形2设zf(x,y)为定义在DR上的一个二元函数,当(x,y)在D内任意取值时,它们与所对应的函数值zf(x,y)一起组成三元数组(x,y,z),3其全体是3维空间R中的点集:S{(x,y,z)zf(x,y),(x,y)D}.那么属于S上的点(x,y,z)满足三元方程F(x,y,z)zf(x,y)0.3通常,S是3维空间R中的一个曲面,即为二元函数zf(x,y)的几何图形.定义域D是曲面S在xOy坐标平面上的投影.22例:二元函数z1xy表示以原点为中心,半径为1的球面(称为单位球面)在xOy平面的上方部分,即上半球面,它的定

6、义域D是xOy平面上以原点为中心的单位圆,如图:zzyoyoxx22例:二元函数zxy为椭圆抛物面,定义域D为整个xOy平面.二、二元函数的极限与连续性1.二元函数的极限定义:设函数f(P)的定义域是平面区域D,PD,当PD且无限趋于P时,f(P)无限00趋于数A,则称A是f(P)当pP时的极限,也称pP时,f(P)收敛于A.00y记为limf(P)A,或f(P)A(pP).0PpP00上述的极限若用点的坐标表示就是limf(x,y)A.x(x,y)(x0,y0)o注:动点P在区域内趋于定点P可以沿着D内的任意路径.0pP时,f(P)收敛于A是指:P在区

7、域D内沿着不同路径趋于P时,f(P)都以A为极限.00因此,由定义知:若P在区域D内沿着不同路径趋于P时,f(P)的极限不同,0则称pP时,f(P)不收敛(发散),或f(P)的极限不存在.022例:求lim1xy.(x,y)(0,0)22解:由图形知:当(x,y)(0,0)时,1xy122lim1xy1.(x,y)(0,0)2xy例:求lim.22(x,y)(0,0)xy22解:当(x,y)(0,0)时,则xy0,即(x,y)(0,0).22