复合函数的导数(VI)

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1、1.2.3复合函数的导数基本初等函数的导数公式：.1)(ln)(.8'xxfxxf==，则若ln1)(log)(.7'axxfxxfa==；，则若)()(.6'exfexfxx==；，则若ln)()(.5'aaxfaxfxx==；，则若sin)(cos)(.4'xxfxxf-==；，则若cos)(sin)(.3'xxfxxf==；，则若)(Q)(.21'*nxxfnxxfnn=Î=-；），则（若0)()(.1'xfccxf==；为常数），则（若对基本初等函数的导数公式，除部分上一节已经证明过，其

2、他的只需要熟记，会用即可.导数的运算法则：特别地：我们无法用现有的方法求函数的导数.思考：如何求函数的导数．我们可以把它看成由和经过“复合”得到的.即y可以通过中间量u表示为自变量x的函数.如果把y与u的关系记作y=f(u)，u和x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作复合函数的概念：y=f(g(x)).判断复合函数的复合关系的一般方法

3、是：从外向里分析，里外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.例1指出下列函数的复合关系：（1）（2）（3）（4）由复合而成．解：（1）（2）由复合而成．（3）由复合而成．（4）由复合而成．由复合而成.若，，求并分析三个函数解析式以及导数之间的关系．新授课而函数由复合而成．分析：所以之间的关系：复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y

4、=f(u)和u=g(x)的导数间的关系为：即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.（即复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数）.例2.求下列函数的导数：解：（1）函数可以看作：函数和的复合函数.根据复合函数求导法则有（2）函数可以看作：函数和的复合函数.根据复合函数求导法则有解：（3）函数可以看作：根据复合函数求导法则有函数和的复合函数.说明：（1）复合函数的求导，关键在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量，然后再用复合函数的求导法则求导；（2

5、）要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；（3）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．解：(1)设，则练习求下列函数的导数：设，则在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此例的解题过程可以直接写成：解：练习求下列函数的导数：例3求的导数.解：例4求下列的导数：解：复合函数的导数的应用：例5.曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于直线y＝x的切线，求这两条切线之间的距离．函数y＝－x3＋x2＋2x的导数为解：y′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0

6、，解得∴切点为P（1，2），过点P的切线方程为:y－2＝x－1，即x－y＋1＝0．又两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为例6求证：证法1：两式相加=右边∴原等式成立.证法2：例6求证：证法3：由二项式定理知两边同时对x求导，得令x=1得，例6求证：∴原等式成立.练习：求和解：两边同时对x求导，得令x=1得，课后作业3.半期复习2.教材第18页习题1.21.教辅课时作业第8~9页1.2.4