电路基础 第3版 王俊鹍 第9章(new)

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1、*第9章线性电路过渡过程的复频域分析9.1拉普拉斯变换及其基本性质9.2部分分式法进行拉普拉斯反变换9.3线性电路的复频域分析9.1拉普拉斯变换及其基本性质9.1.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称为拉氏变换，是积分变换的一种，该变换可将时域函数变换为复频域函数。设函数当有定义，则变换定义为的拉普拉斯式中为复变量，称为复频率，称为的象函数，称为的原函数。的实部应为足够大的的幅度在无限大的过程中不断衰减以趋于零，的拉普拉斯变换才存在。正数，使函数趋向这样通常把上式表示为式中符号表示对方括号里的函数作拉氏变换。例9.1计算下列原函数的象函数。（1）单位阶跃函数（2）指数函数。

2、；（1）（2）还应指出：进行拉氏变换的原函数的定义域为，对的域是不适用的，的拉氏变换也就是不包括的情况。对于其他函数的拉氏变所以的拉氏变换，换也应这样理解。9.1.2拉普拉斯变换的性质拉氏变换的线性性质说明，若干个任意时域函数的线性组合的象函数，等于它们各自象函数取同样的线性组合。1.线性性质若，，a、b为任意常数则若，则2.微分性质微分性质表明，一个时间函数的一阶导数的拉氏变换，是时间函数的象函数乘以复频率再减去初始值。重复应用微分性质，可以推得导数的象函数为的二阶式中依此类推，可得的n阶导数的象函数为若，则3.积分性质积分性质表明，一个时间函数积分的拉氏变换，等于该函

3、数的象函数除以复频率s。即在时域中的积分运算相当于复频域内的除法运算。9.2部分分式法进行拉普拉斯反变换求拉氏反变换的最简单和最常用的方法是查拉氏变换表（表9-1），但求解电路问题时得到的象函数F(s)并非都恰好为表中所列出的形式，所以要将化为表中的形式。电路理论中常见的象函数通常是两个有理多项式之比，也就是s的一个有理分式式中，所有的系数a和b都是实常数，m和n是正整数，且一般n>m，N(s)和D(s)无公因式，即F(s)为不可约的有理真分式。把任一有理函数分解成许多简单项之和，而这些简单项都可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，这是用复频域分析法求解线性

4、电路过渡过程时进行拉氏反变换的主要方法。为用部分分式展开有理真分式F(s)，首先必须求出D(s)（即特征方程）的根（特征根）。下面就这些根（特征根）的不同情况分别讨论F(s)的展开。9.2.1单根的情况设D(s)=0有n个实数单根，分别为p1、p2、…pn，于是F(s)可以展开为式中k1、k2、…kn是待定系数，这些系数可以按下述方法确定，把上式两边都乘以(s-p1)得令s=p1，则等式右端除第一项外都变为零，于是求得同理，可求出全部待定系数故F(s)的原函数可表示为9.2.2共轭复根的情况设D(s)=0含有复数根，复数根也属于一种单根，它们可用单根方式确定系数ki。由于

5、D(s)=0是s的实系数多项式，若D(s)=0有复数根，则必然共轭成对出现，而且在展开式中相应分式项系数亦为共轭复数，注意到上述特点，可简化系数计算。设D(s)=0的一对共轭复根为，，则F(s)的展开式中必定包含如下两项可求得式中k1是复数的模，为k1的幅角。则有其对应的原函数为上式表明，每对共轭复根的分式项对应的原函数是一个衰减的正弦函数。9.2.3重根的情况设D(s)中含有(s-p1)3的因式，则中为三重根，其余pi为单根（i=2,3,…n），这时F(s)的展开式可写为系数ki(i=2,3,…n）可由单根方式求出。现在的问题是如何确定k11、k12和k13。若把上式的

6、两边都乘以(s-p1)3，则k11被单独分离出来，即所以k11便可确定如下再对式两边对s求导一次，则k12被分离开来，并令s=p1有利用同样的方法可以确定k13归结上列各式可得出p1为m重根的部分分式一般项的待定系数k1j的计算公式为利用拉氏变换表中(n=正整数)的关系可求出F(s)的原函数为应该指出，采用复频域分析法求解电路问题时，得到的响应象函数F(s)以具有单根的情况最为常见，有高阶重根的情况较少。因此，用部分分式展开法求拉氏反变换时的侧重点在于F(s)只具有单根及二重根的情况。9.3线性电路的复频域分析9.3.1用拉氏变换求解描述线性电路的微分方程先按数学上的正规

7、步骤求解一个简单电路的过渡过程。对于RC串联电路的全响应，在前一章已经建立了关于电容电压的微分方程，即初始条件为相应的拉氏变换方程为解出为因此这是响应的完整解，与前一章所得结果相同，且积分常数已由计算给出，无需另行确定。解决了时域分析法求解高阶电路初始条件及积分常数难以确定的问题。9.3.2R、L、C元件的复频域模型1.电阻元件R设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)为关联参考方向，则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为u(t)=Ri(t)电阻元件在时域中的电路模型如图9.1(a)所示。其复频域形式为U(s)=RI