电路分析基础 史健芳 陈惠英 李凤莲 等 ch5直流动态电路分析-2

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1、第5章直流动态电路的分析15.1动态元件*5.2微分方程的求解5.3直流一阶电路的分析5.4直流二阶电路的分析本章主要内容22．二阶微分方程的求解其中：系数p(t)，q(t)及右端f(t)为已知连续函数。当f(t)=0时，称该方程为二阶线性齐次微分方程（简称齐次方程）；当f(t)≠0时，称该方程为二阶线性非齐次微分方程（简称非齐次方程）。3二阶线性齐次微分方程其中p、q为常数。其对应的特征方程为二阶常系数线性齐次微分方程它的两个特征根为4（1）当p2－4q>0时，特征方程有两个不相等的实根二阶线性齐次微分方程通解为:（2）当p2－4q=0时，特征方程有两个相等的实根二阶线性齐次微分方程

2、的通解为5（3）当p2－4q<0时，特征方程有一对共轭复根其中二阶线性齐次微分方程的通解为6二阶常系数线性非齐次微分方程其中p、q为常数，f（t）是t的已知连续函数。非齐次微分方程的特解应根据输入函数的形式确定，可按表5-1假设。以特解代入以上方程，用待定系数法确定特解中的常数K。二阶常系数线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与它对应的线性齐次微分方程的通解之和。根据初始条件，即可求出通解中的待定系数，从而求得二阶常系数线性非齐次微分方程的解。75.4直流二阶电路的分析凡是能用二阶线性常微分方程描述的动态电路称为二阶（线性）电路。在二阶动态电路中，给定的初始条件有两个，它们由储能元

3、件的初始值决定。其中RLC串联电路和GCL并联电路是最简单的二阶电路。85.4.1二阶串联电路的零输入响应电容的初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0电感中的初始电流iL(0+)=iL(0－)=I0。在t=0时合上开关S。电路中没有激励源，即为二阶电路的零输入响应。9按照KVL将代入上式得上式是一个二阶、线性、常系数、齐次微分方程，设齐次解为Kest，将它代入上式，可得特征方程10根号前有正负两个符号，所以特征根有两个值s1，s2。特征根是电路的固有频率，它将决定零输入响应的形式。由于R、L、C参数不同,特征根s1，s2可能出现三种不同情况：其特征根为特征方程为11(1)当(R/2L

4、)2>1/LC时，s1，s2是两个相异负实根；(2)当(R/2L)2=1/LC时，s1，s2是两个相同负实根；(3)当(R/2L)2<1/LC时，s1，s2是两个共轭复根，其实部为负数。所以，RLC电路的零输入响应也分为三种情况来讨论。12时，称为过阻尼情况。(1)此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为其中K1和K2为两个待定的系数。由电路的初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值。13因为，所以有得将这两个初始条件代入上式以上两个方程联立求解，可得常数K1和K2。14把K1和K2代入整理可得电容电

5、压15电路电流根据并利用可得电感电压根据可得16U0≠0，I0=0相当于充了电的电容器对没有电流的线圈放电的情况。因为s1，s2是两个负实数，所以电容电压由两个单调下降的指数函数组成，其放电过程是单调的衰减过程。17因为s1>s2，根据电流i可知，放电电流i始终为负；在t=0时，i=0，在t=∞时电容的电场能量全部为电阻消耗，i=0。在中间某一时刻t=tm时，电流i数值最大。由di/dt=0，可算出图非振荡放电过程uC、uL、i随时间的变化曲线18非振荡放电过程中：在0~tm期间，电容中的电场能量一部分消耗在电阻上，另一部分则变为电感中的磁场能量。当t>tm时，电容中剩余的电场能量和电

6、感中的磁场能量都逐渐消耗在电阻上。当t=tm时，电感电压过零点。当t=2tm时，电感电压为最大。图非振荡放电过程uC、uL、i随时间的变化曲线19时，称为临界阻尼情况(2)此时特征根是两个相等的负实根，s1=s2=－R/2L=－α，由初始条件微分方程的通解为因为所以有20将这两个初始条件代入式得电路电流21时，称为欠阻尼情况(3)此时过渡过程为振荡放电过程其中特征根为22可得其中23可见uC(t)是衰减振荡的，振荡频率为图振荡放电过程uC随时间的变化曲线振荡频率与电路参数有关，而与电源的频率无关。称为自由振荡。24从能量关系看，在振荡放电过程中，电容中的电场能量和电感中的磁场能量反复交

7、换，电容反复地充电放电，其两端电压和电路电流以及电感电压均周期变化，这种过程称为电磁振荡。由于电阻消耗能量，故振荡过程中电磁能量不断减少，即电容电压和电路电流不断减少，最终全部消耗在电阻上，各电压电流都衰减到零。放电过程中电容电压和电路电流分别为：其中25当R=0时，α=0，则电容电压和电路电流分别为可以看出：uC，i的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0。26可以看出：uC，i的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频