[现代控制理论][04][李亚普诺夫稳定性分析]

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1、第五章李亚普诺夫稳定性分析5.1几个稳定性概念5.2李雅普诺夫稳定性理论5.3李亚普诺夫方法在线性系统中应用5.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用5.1几个稳定性概念定义5.1.1自治系统:零输入作用的系统其中，x为n维状态向量，f(.,.)为维向量函数。定义5.1.2受扰运动：系统状态的零输入响应.定义5.1.3平衡状态：如果对于所有的总存在着则称为系统的平衡状态。，且A非奇异，则原点是系统唯一如果的平衡状态，称为x向量的欧氏范数定义5.1.4欧氏范数：定义5.1.5稳定系统(5.1.1)中，对,若使得时,有2005-11-5则称为李雅普诺夫意义下稳定的。

2、定义5.1.6渐近稳定：如果是李雅普诺夫意义稳定的，和并且对于总使得则称是渐近稳定的。若，则称为大范围(全局)渐近稳定。2005-11-5定义5.1.7一致稳定（渐近稳定）：若xe的稳定性（渐近稳定）不依赖于t0，则称其为一致稳定（渐近稳定）。2005-11-5图5.1（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。定义5.1.8不稳定:定义5.1.9正定函数：1）存在2）3)当对于某个实数和，在超球域内始终存在状态，使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域2005-11-5时，则称是正定的（正半定的）。如果条件3）中

3、不等式的符号反向，则称是负定的（负半定的）。例5.1.11）正定的2）半正定的3）负定的4）半负定的5）不定的2005-11-5定义5.1.10二次型：塞尔维斯特（Sylvester）定理：例5.1.2证明下列二次型函数是正定的。矩阵定号性的充要条件是：2005-11-5解：二次型可以写为,因为所以5.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫第一方法设，为孤立平衡点。（1）平衡点平移：令则将在原点展开得，定理5.2.1(2)近似线性化：如果,则渐近稳定，如果存在，则不稳定；来决定。如，则的稳定性由高阶导数项例5.2.1已知非线性系统2014-4-5其中常数

4、，试分析其平衡状态的稳定性。知系统有平衡点解:求平衡状态：由下面仅对情况进行研究，其它情况类似计算由特征方程，得设则2005-11-5①当时，系统在渐近稳定；时，②系统在不稳定;③如果,其稳定性靠一次近似不能判断。5.2.2直接法定理5.2.2假设系统的状态方程为如果存在一个具有连续偏导数的标量函数并且满足条件：1）是正定的；2）是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果随着有则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。定理5.2.3如果并且对于任意和不恒等于零则系统在原点渐近稳定.定理5.2.4如果则原点不稳定例5.2.2已知系统试用李雅普诺夫

5、第二方法判断其稳定性。原点处是大范围渐近稳定的解:显然，原点是唯一平衡点，取，则又因为当时，有所以系统在例5.2.3已知系统试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。2005-11-5解:系统具有唯一的平衡点取则因为除原点处外，不会恒等于零。当时，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。例5.2.4系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。2005-11-5解:系统具有唯一的平衡点取则于是知系统在原点处不稳定。2005-11-51）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。3）关于稳定性的条件是充分的，而不是

6、必要的。4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。5.2.3几点说明2005-11-55）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。5.3李亚普诺夫方法在线性系统中应用2005-11-55.3.1稳定性分析定理5.3.1:系统在原点全局渐近稳定的充要条件为方程,有唯一正定对称解.证明：充分性：考虑系统其中令如果则大范围渐近稳定。必要性：略。2005-11-5例5.3.1:分析下列系统稳定性解：令得则由2005-11-5解上述矩阵方程，

7、有即得2005-11-5因为可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。2005-11-5设则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程存在唯一正定对称解如果沿任一解的序列不恒等于零，则可取半正定的。定理5.3.22005-11-5例5.3.2试确定系统在原点的稳定性,得解:在李雅普诺夫方程中,取由此解出2005-11-55.3.2利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题(1)问题描述：从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的.2005-11-5(1)设调节参数使极小。(2)必须逐渐稳定，否则问题无解。(3)由知存在,使得令于是有由,知(4)注意到和的函

8、数，调节使最小。2005-11-5例5.3.3给定系