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《现代控制理论5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Ch.5Ch.5Ch.5Ch.5李雅普诺夫稳定性分析目录(1/1)目录�概述�5.1李雅普诺夫稳定性的定义�5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理�5.3线性系统的稳定性分析�5.4非线性系统的稳定性分析�5.5Matlab问题�本章小结非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/4)5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析�在线性系统中,如果平衡态是渐近稳定的,则系统的平衡态是唯一的,且系统在状态空间中是大范围渐近稳定的。�对非线性系统则不然。�非线性系统可能存在多个局部渐近稳定的平衡态(吸引子),同时还存在不稳定的平衡态(孤立子),稳定
2、性的情况远比线性系统来得复杂。�与线性系统稳定性分析相比,由于非线性系统的多样性和复杂性,所以非线性系统稳定性分析也要复杂得多。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)�本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。�由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难的。�对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。�而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。非线性系统的李雅普诺夫稳
3、定性分析(3/4)�对非线性系统的稳定性分析问题,目前切实可行的途径为:�针对各类非线性系统的特性,分门别类地构造适宜的Lyapunov函数。如,�通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩阵法)�针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法)�针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/4)�由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部的性质,因此在寻找Lyapunov函数时,须通过将系统的坐标
4、轴平移,将系统的所讨论的平衡态移至原点。�在讨论稳定性时,通常还要确定该局部渐近稳定的平衡态的范围。�下面分别讨论如下3种非线性系统稳定性分析方法。�克拉索夫斯基法�变量梯度法�阿依捷尔曼法克拉索夫斯基法(1/7)5.4.1克拉索夫斯基法�设非线性定常连续系统的状态方程为ẋ(t)=f(x)�对该系统有如下假设:1)所讨论的平衡态xe=0;2)f(x)对状态变量x是连续可微的,即存在雅可比矩阵τJ(x)=∂f(x)/∂x�对上述非线性系统,有如下判别渐近稳定性的克拉索夫斯基定理。克拉索夫斯基法(2/7)ẋ(t)=f(x)�定
5、理5-11非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳定的充分条件为Jˆ()x=J()x+Jτ()x为负定的矩阵函数,且ττV()x=xẋ̇=f()()xfx为该系统的一个李雅普诺夫函数。�更进一步,当
6、
7、x
8、
9、→∞时,有
10、
11、f(x)
12、
13、→∞,则该平衡态是大范围渐近稳定的。�证明当非线性系统的李雅普诺夫函数为ττV()x=xẋ̇=f()()xfx则其导数为ẋ(t)=f(x)V()x=xẋ̇τ=fτ()()xfx克拉索夫斯基法(3/7)̇=τ′V()x[f()()]xfxτ⎡∂fx()⎤τ⎡∂fx()⎤=ẋfx()+f(
14、)xẋ⎢τ⎥⎢τ⎥⎣∂x⎦⎣∂x⎦τττ=f()xJ()()xfx+f()()()xJxfx=fτ()()()xJˆxfxτ�由于V()x=f()()xfx为系统的一个李雅普诺夫函数,即τf()()xfx正定。τ�因此,若Jˆ(x)负定,则V̇(x,t)=f(x)Jˆ(x)f(x)必为负定。�所以,由定理5-4知,该非线性系统的平衡态xe=0是渐近稳定的。���克拉索夫斯基法(4/7)�在应用克拉索夫斯基定理时,还应注意下面几点。�克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件,不是必要条件。�如对于渐近稳定的线性定常连续系统⎡
15、ẋ1⎤⎡01⎤⎡x1⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣ẋ⎦⎣−2−7⎦⎣x⎦22�由于⎡0−1⎤Jˆ()x=J()x+Jτ()x=⎢⎥⎣−1−14⎦不是负定矩阵,故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统为渐近稳定的。�可见,该定理仅是一个充分条件判别定理。克拉索夫斯基法(5/7)�若V(x)=fτ(x)f(x)正定,为Lyapunov函数,则说明只有当x=0时,才有V(x)=0,即原点是唯一的平衡态。�因此,只有原点是系统的唯一平衡态,才能用克拉索夫斯基定理判别渐近稳定性,并且由该定理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳定的。�由克拉索夫
16、斯基定理可知,系统的平衡态xe=0是渐近稳定的条件是J(x)+Jτ(x)为负定矩阵函数。�由负定矩阵的性质知,此时雅可比矩阵J(x)的对角线元素恒取负值,因此向量函数f(x)的第i个分量必须包含变量xi,否则,就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。�将克拉索夫斯基
