5现代控制理论5李雅普诺夫稳定性分析报告

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1、现代控制理论第四讲主讲：吴伟2第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1李雅普诺夫稳定性定义5.2李雅普诺夫稳定性理论5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用3一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。4李氏第一法是通过

2、求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。55.1李雅普诺夫稳定性定义稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不

3、止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。6初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有5.1.1平衡状态f（xe，t）=0由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u=0。此时设系统的状态方程为7系统的平衡状态应满足Axe=0。当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态xe=0。当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只

4、有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。对于线性定常系统，其状态方程为8对于非线性系统，方程f(xe，t)=0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如解得因此该系统有三个平衡状态95.1.2范数的概念李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用‖x‖表示，则向量（xxe）范数可写成通常又将‖xxe‖称为x与xe的距离。当向量（xxe）的范数限定在某一范围之内时，则记为‖xxe‖>0几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，记为S()。105.1.3李雅普诺夫稳定性定义定义:对于系统，若对任

5、意给定的实数>0，都对应存在另一个实数(,t0)>0，使得一切满足‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足‖xxe‖（tt0）则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。1.稳定和一致稳定11x1x2xeS()S()x0x12定义:对于系统，若对任意给定的实数>0，总存在(,t0)>0，使得‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足2.渐近稳定则称平衡状态xe是渐近稳定的。‖xxe‖（tt0）且对于任意小量μ>0，总有13x1x2x

6、eS()S()x0x经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。14定义:如果系统对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe，则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。3.大范围渐近稳定显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe=0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希

7、望系统是大范围渐近稳定的。15定义:如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。4.不稳定165.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。1.线性定常系统定理5-1线性定常系统，渐近稳定