李雅普诺夫稳定性分析

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1、李雅普诺夫稳定性分析朱志甜（大庆师范大学物理与电气信息工程学院自动化一班200801071497）摘要：稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性概念，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧

2、来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其它方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。关键词：李雅普诺夫稳定性线性定常系统0.发展概况从19世纪末以来，李雅普诺夫稳定性理论一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，В．И．祖博夫将李

3、雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。用这种方法可建立大系统稳定性的充分条件。1.李雅普诺夫稳定性概念忽略输入后

4、，非线性时变系统的状态方程如下（1）式中，x为n维状态向量；t为时间变量；为n维函数，其展开式为假定方程的解为，x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，。平衡状态如果对于所有t，满足（2）的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态方程，令所求得的解x，便是平衡状态。对于线性定常系统，其平衡状态满足，如果A非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，的解可能有多个，由系统状态方程决定。控制系统李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡

5、状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。（a）李雅普诺夫意义下的稳定性（b）渐近稳定性（c）不稳定性图1稳定性的平面几何表示2.李雅普诺夫稳定性定义（1）李雅普诺夫稳定性：如果对于任意小的e>0，均存在一个，当初始状态满足时，系统运动轨迹满足，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是

6、稳定的。该定义的平面几何表示见图8-18（a），表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为（3）设系统初始状态x0位于平衡状态xe为球心、半径为δ的闭球域内，如果系统稳定，则状态方程的解在的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域内。（2）一致稳定性：通常δ与e、t0都有关。如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。（3）渐近稳定性：系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有（4）称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从出发的轨迹不仅不会超出，且当时收敛于xe或其附近，其平面几何表示见图8-

7、18（b）。（4）大范围稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，，，。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。（5）不稳定性不论δ取得得多么小，只要在内有一条从x0出发的轨迹跨出，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示见图8-18（c）。注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描