李雅普诺夫稳定性分析(二)

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1、3.李雅普诺夫第二法的几个定理下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理:渐近稳定性定理(定理5-4)稳定性定理(定理5-5)不稳定性定理(定理5-6)(1)渐近稳定性定理定理5-4设系统的状态方程为x’=f(x,t)其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件:1)若V’(x,t)为负定的，则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;2)更进一步，若随着

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3、x

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5、→，有V(x,t)→，那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。它不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统;既适用于定常

6、系统，也适用于时变系统。因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件，而非必要条件。也就是说，若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函数，则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。2)对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫函数总是存在的，但并不唯一。3)对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的，但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的;4)李雅普诺夫第二法的

7、结论并没有指明寻找李雅普诺夫函数的方法。寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态方程而具体分析。例5-3试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解:显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数是负定函数。此外，当

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9、x

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11、→时，必有V(x)→。因此，由定理5-4知，在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。例5-4试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解:显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)对时间的全导数是负

12、定函数，故由定理5-4知，根据所选的李雅普诺夫函数分析不出该平衡态是否渐近稳定或稳定。但这也并不意味着该平衡态就并不渐近稳定。定理5-4中严格要求选择的李雅普诺夫函数为正定函数,其导数为负定函数。这给该定理的应用，特别是寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。下面给出一个定理对上述定理5-4作一补充，以减弱判别条件。(2)稳定性定理定理5-5设系统的状态方程为x’=f(x,t)，其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件:1)V’(x,t)为负半定的，则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的;2)更进一步，若V(x,t)的定义域为Rn，对任意的t0

13、和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的，否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。此时，随着

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15、x

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17、→，有V(x,t)→，则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。由此定理的结论可知，定理5-5不仅可用于判别平衡态的稳定性，而且可作为定理5-4的补充，用于判别平衡态的渐近稳定性。例5-5试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。解：前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。该函数及其导数分别为由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。对例5-5，选取李雅普诺夫函数为则是负定的，系统在

18、原点处的平衡状态是渐近稳定的。例5-6试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数解：显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择正定函数由于V’(x)非正定，由定理5-5的1)可知，系统为一致稳定的。由于V’(x)对任意的x0恒为零，因此由定理5-5中2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定，但非渐近稳定。(3)不稳定性定理定理5-6设系统的状态方程为x’=f(x,t)，其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)，满足下述条件:1)V’(x,t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是不

19、稳定的;2)若V’(x,t)为正半定的，且对任意的t0和任意的x(t0)0，V’(x,t)在t>t0时不恒为零，那么该平衡态xe亦是不稳定的。例5-7试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。解：显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果我们选择李雅普诺夫函数为则由于V’(x)正半定，但其只在x1=0，x2=0时才恒为零，而在其他状态不恒为零，因此由定理5-6的2)可知，系统的该平衡态为不稳定的。下面将前面讨论的李雅普诺