现代控制理论第4章-李雅普诺夫稳定性理论.ppt

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1、11.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：2研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的

2、收敛性，而与输入作用无关。3经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。4主要内容：李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。李雅普诺夫第二法（直接法）直接判断系统稳定性，利用经验和技巧构造一个李亚普诺夫函数V(x)，根据符号性质判断系统稳定性

3、-----对任何系统都适用。54.1稳定性基本概念1.自治系统：输入为0的系统2.初态的解为初态3.平衡状态：系统的平衡状态a.线性系统A非奇异：A奇异：有无穷多个6b.非线性系统可能有多个例4-1:令7孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。84.2李雅普诺夫稳定性的定义1.李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数都对应存在另一个实数满足的任意初始态出发的运动轨迹，在都满足：9则称是李雅普诺夫意义下稳定的。时变系统：与有关定常系统：与无关，是一致稳定的。注意：－

4、向量范数(表示空间距离)欧几里得范数。102.渐近稳定1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性对于都有11初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛或其附近。大范围渐近稳定12当与无关大范围一致渐近稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态。不稳定性：不管，有多小，只要内由出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态是不稳定的。13线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。非线

5、性系统的平衡状态不稳定只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。14图4.1稳定性的平面几何表示（c）不稳定性（b）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义下的稳定性154.3李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：2）渐近稳定的充要条件：3）不稳定的充要条件：16非线性系统的稳定性分析假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线

6、性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：--非线性函数17其中：--级数展开式中二阶以上各项之和18上式为向量函数的雅可比矩阵。令则线性化系统方程为：19结论：若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关。若,则非线性系统不稳定。若，稳定性与有关，则是李雅普诺夫意义下的稳定。20例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：令2122可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。23李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理：根据

7、物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，是一个标量函数，记以；若不显含t，则记以。考虑到能量总大于零，故为正定函数。能量衰减特性用或表示。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数作为李雅普诺夫函数。4.4李雅普诺夫第二法(直接法)244.4.1预备知识2526275.V(x)不定:V(x)>0或V(x)<0则V(x)是不定的。如：28292.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定

8、的。3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值