李雅普诺夫稳定性(2).ppt

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1、第二章Lyapunov理论基础稳定性是控制系统关心的首要问题。稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动，那么就把该系统描述为稳定的。例如：单摆，飞行器李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892年首次发表。1.线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性质。§2.1稳定性概念几个简化记法：令表示状态空间中由定义的球形区域，表示由

2、定义的球面本身。1、稳定性和不稳定性定义：如果对于任何，存在，使得对于所有的，如果，就有，则称平衡点是稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。或者：对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定不等于发散。图2-1稳定性概念例2.1范德堡振荡器的不稳定性对于范德堡方程转换成状态方程描述很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。并且是不稳定的。从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的为足够小，使得半径为的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。2、渐近稳定

3、性与指数稳定性在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一，使得，当时，，那么称平衡点是渐近稳定的。平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线最终都收敛于原点，这些点组成的最大集合所对应的区域。注意：收敛并不意味着稳定。（见图）定义：如果存在两个严格正数和，使得围绕原点的某个球内，那么称平衡点0是指数稳定的。也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于原点，通常称正数为指数收敛速度。指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。把正常数写成后，不难看到，经过时间后，状态向量的幅值减小到原值的，与

4、线性系统中的时间常数相似。例1：系统它的解是：以速度指数收敛于。例2：系统它的解为，是个慢于任何指数函数的函数。3、局部与全部稳定性定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的，也称为全局渐近（或指数）稳定的。§2.2线性化和局部稳定性李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基本上是合理的。对于自治非线性系统，如果是连续可微的,那么系统的动态特性可以写成()：用表示在处关于的雅可比矩阵：原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：对于一个具有控制

5、输入的自治非线性系统：有：对于闭环系统，同样可以得出上述结论。例2.2考虑系统在处线性化。线性化结果：定理：（李雅普诺夫线性化方法）1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果的所有特征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）；2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果的所有特征值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）；3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果的所有特征值都在左半复平面内，但至少有一个在轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者

6、是不稳定的）。例：对于一阶系统原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的线性化是：应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳定性性质：（1）渐近稳定；（2）不稳定；（3）不能从线性化说明系统稳定性性质。在第三种情况下，非线性系统为这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。例：证明下面单摆的平衡状态是不稳定的。式中为单摆长度，为单摆质量，为铰链的摩擦系数，是重力常数。(系统的平衡点是什么？)在的邻域内设，那么系统在平衡点附近的线性化结果是因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点也是不稳定的。李雅普诺夫线性化定理说明线性控制设计存在一致性

7、问题，人们必须设计控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有多大？稳定范围是什么？§2.3李雅普诺夫直接法李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定至某个平衡点。非线性质量—阻尼器—弹簧系统，动态方程是整个机械系统的能量是它的动能和势能之和建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关李雅普诺夫直接法建立在把上述概念推广到更复杂系统的基础上。一、正定函数和李雅普诺夫函数定义：一个标量连续函数，如

8、果，而且在一个球内那么称函数为局部正定的。局部正定函