稳定性与李雅普诺夫

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1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法2021年7月19日4.稳定性与李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义4.2李雅普诺夫第一法4.3李雅普诺夫第二法4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用稳定性的几个问题什么是系统的稳定性？为什么要研究稳定性？经典控制理论中稳定性的判别方法？对于状态空间表达式如何判断稳定性？4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义系统的平衡状态所研究系统的齐次状态方程为x为n维状态矢量；f为与x同维的矢量函数，并且是x与时间t的函数，一般为时变的非线性函数，如果不

2、显函t，则为定常非线性系统。若存在状态矢量xe，对所有时间t都能使f(xe,t)≡0，称xe为系统的平衡状态。线性定常系统的平衡状态平衡状态需要满足Axe≡0当A为非奇异矩阵时，系统存在唯一的平衡状态xe＝0；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。非线性系统的平衡状态可以有一个或者多个平衡状态稳定性的基本概念经典理论中的稳定性李雅普诺夫的稳定性系统形式定义如果系统在扰动作用下偏离的原来的平衡状态，在扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的，否则不稳定。如果系统从平衡状态临近的任

3、一点出发的轨线总保持在该平衡状态的临近，则称平衡状态是稳定的，否则不稳定。判别方法代数判据、奈氏判据、对数判据、特征根判据李雅普诺夫第一法（间接法）第二法（直接法）适用范围线性定常系统多变量、非线性、时变稳定性是系统本身固有的，与输入无关。稳定性的几个定义李雅普诺夫意义下的稳定渐进稳定大范围渐进稳定不稳定李雅普诺夫意义下的稳定性说明：S(ε)--定义一个以平衡状态为中心半径为ε的邻域，系统的运动状态保持在该邻域内；S(δ)--定义一个以平衡状态为中心半径为δ的邻域，为了满足系统的运动状态保持在S(ε)内，系统的初始

4、状态应该在S(δ)内。渐进稳定大范围渐进稳定不稳定稳定渐进稳定不稳定分析下列系统的稳定性表面有摩擦李雅普诺夫稳定性判别方法第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质判断系统的稳定性。－－适用与任何复杂系统4.2李雅普诺夫第一法（间接法）线性定常系统提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况？有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？非线性系统xe为平衡状态，f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x具有连续的偏导数。将非线性

5、矢量函数f(x,t)在xe邻域内展开为泰勒级数其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项。若令则可以得到系统的线性化方程在线性近似的基础上，用线性系统稳定性的判别定理。A的所有特征值都有负实部系统渐进稳定A的特征根中至少有一个具有正实部系统不稳定A的特征值都有非正实部需要根据舍弃的髙阶项再分析采用李雅普诺夫第二法举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性第一步：令求得系统的平衡状态第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化求近似线性系统的特征根：－1，+1，所以系统在平衡状态x1e不稳定第三步：将系统在平衡状态x2e附

6、近线性化求近似线性系统的特征根：－j，+j，实部为0；所以系统在平衡状态x2e的稳定性用线性化方程无法判断。课堂练习：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性第一步：令求得系统唯一的平衡状态第二步：将系统在平衡状态附近线性化第三步：求近似线性系统的特征根：－1，－2所以系统在平衡点渐进稳定。4.3李雅普诺夫第二法（直接法）基本思路：一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，当能量最小时，达到平衡状态，那么这个平衡状态是渐进稳定的。反之，如果系统不断从外界吸收能量，存储能量的能量越来越大，那么这个平衡状态就

7、是不稳定的。李雅普诺夫函数：一个正定的标量函数V(x)虚拟的广义能量函数根据dV(x)/dt的符号（能量的变换规律）判断系统的稳定性，4.3.1预备知识1.标量函数的符号性质设V(x)为n维矢量x所定义的标量函数，，且在x=0处，恒有V(x)=0。对于所有在域中的任何非零矢量x，如果：1）V(x)＞0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12+x22；2）V(x)≥0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如V(x)=(x1+x2)2；3）V(x)＜0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12+2x22)；4）V

8、(x)≤0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如V(x)=-(x1+x2)2；5）V(x)＞0或者V(x)＜0，则称V(x)为不定的。例如V(x)=x1+x2；2．二次型标量函数设x1，x2，…，xn为n个变量，定义二次型标量函数为如果pij=pji，则称P为实对称阵。对于二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化成上式，为二次型函数