《李雅普诺夫稳定性》PPT课件

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1、3.1李亚普诺夫第二法的概述3.2李亚普诺夫意义下的稳定性3.3李亚普诺夫稳定性定理3.4线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3.1李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础1、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后,它仍有能力自动地在平衡状态状态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。2、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。3、系统稳定性的数学表示法系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为：为系统被调量偏离其平衡位置的大小，为任意小的规定量。3、研究系统稳定性的方法劳斯

2、—胡尔维茨稳定性判据古典控制论：乃奎斯特稳定性判据第一种方法现代控制论：李亚普诺夫稳定性第二种方法第一种方法：是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，或根据特征方程根的情况来判据稳定性。第二种方法：建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。由于实际系统很难找到一个统一的，简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数。李氏认为在判断一个系统的稳定性时，不一定非要得到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李亚普诺夫函数

3、（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，也就是根据它来判据系统的稳定性。李氏函数一般是状态分量和时间t的标量函数，用表示，若与t无关，可用表示。在多数情况下，常取二次型函数作为李氏函数。即：式中P为实对称阵。二、二次型及其定号性1、二次型：定义：n个变量的二次齐次多项式为：称为二次型。式中是二次的系数。设—对称且均为实数。用矩阵表示二次型2、定号性1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零X，恒有，则为正定。2）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零X,恒有，则为负定。3）正半定性和负半定性如果对任意，恒有,则V(X)为正半定或准正定。如果对任意，恒有,则V(X

4、)为负半定或准负定。4）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(X)为不定。3、赛尔维斯特准则1）二次型或对称矩阵P为正定的充分条件是P的主子行列式均为正，即如果则P为正定，即V(X)正定。2）二次型或对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。3.2李亚普诺夫意义下的稳定性一、平衡状态系统一般描述：X为n维状态向量。平衡状态：当在任意时间都能满足时，称Xe为系统的平衡状态或平衡点。对于线性定常系统A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态。A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或

5、多个平衡状态。对任意，总可引入一个新状态，经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。稳定性问题：是指系统的状态解（常称“运动”）是否能趋于平衡状态解的问题，若系统的状态解能回复到平衡状态则称此系统是稳定的。如果系统的状态解虽然不能最终回复到平衡状态，而是在平衡状态某个邻域内呈现自激震荡，而这种震荡又为实际系统所允许，那么也应把这种系统称为稳定的，反之为不稳定的。二、李亚普诺夫意义下的稳定系统状态方程为设u(t)=0，且系统的平衡状态为Xe，。有扰动使系统在时

6、的状态为，产生初始偏差则后，系统的运动状态从开始随时间发生变化。表示初始偏差都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的闭环域里。其中表示平衡状态偏差都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的闭环域里1、稳定性定义：1）稳定与一致稳定设Xe为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定。如果与初始时刻无关，则称平衡状态为一致稳定。2）渐近稳定和一致渐近稳定设Xe为动力学系统的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且从充分靠近Xe的任一初始状态出发的运动轨迹有或即收敛于平衡状

7、态Xe，则称平衡状态Xe为渐近稳定。如果与初始时刻无关，则称平衡状态Xe为一致渐近稳定。3）大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即对所有点都成立，称平衡状态Xe为大范围渐近稳定的，如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。4）不稳定如果平衡状态Xe即不是渐近稳定的，也不是稳定的，当并无限增大时，从出发的运动轨迹最终超越域，则称平衡状态Xe是不稳定的。3.3李亚普诺夫稳定性定理定理1：设系统的状态方程为式中，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：是正定的。是负定的。则在原点处的平衡