李雅普诺夫稳定性的定义

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1、Ch.5李雅普诺夫稳定性分析本章简介(1/2)本章简介本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。目录(1/1)目录概述5.1李雅普诺夫稳定性的定义5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理5.3线性系统的稳定性分析5.4非线性系统的稳定性分析5.5Matlab问题本章小结概述(1/5)概述一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能

2、力;电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。概述(2/5)也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;为任意小的规定量。如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。概述(

3、3/5)分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。概述(4/5)再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些

4、系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身,往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。概述(5/5)实际上,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式：外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即为外部稳定性

5、。内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。概述(6/5)早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。李

6、雅普诺夫把分析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。概述(7/5)第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。概述(8/5)李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系

7、统,而且也能用来研究时变系统、非线性系统,甚至离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。概述(9/5)可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和第二法的理论及应用。概述(10/5)本章需解决的问题:

8、动态系统的