第五章-李亚普诺夫稳定性分析.ppt

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1、现代控制理论ModernControlTheory中南大学信息科学与工程学院自动化专业Friday,September03,2021第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1稳定性的基本概念5.2李雅普诺夫稳定性理论5.3李雅普诺夫方法在线性系统中应用*5.4李雅普诺夫方法在非线性系统中应用小　结所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。在控制工程和控制理论中，稳定性问题一直是一个最基本和最重要的问题。经典控制理论中系统的稳定性判别方法Routh-Hurwitz判据根据

2、系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性。不必求解特征方程。Nyquist判据根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭环系统稳定性，本质上是一种图解分析方法。对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。在解决这类系统的稳定性问题时，最通用的方法是利用俄国科学家李亚普诺夫（Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。李亚普诺夫方法的提出1892年，Lyapunov发表博士论文《运动稳定性的一般问题》两类解决

3、运动稳定性问题的方法第一方法：通过求微分方程的解来分析运动稳定性，对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化微分方程来近似描述（局部运动）；第二方法：通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考察该函数对时间的变化来判断稳定性。又称直接方法，现今学术界广为应用且影响巨大的方法。在1960年前后被系统地引入到系统与控制理论中，就很快得到了广泛的应用，不管是理论上还是在应用上都显示出了它的重要性。返回5.1稳定性的基本概念定义5.1.1自治系统零输入作用的系统，用如下方程描述其中，x为n维状态向量，f(.,.

4、)为n维向量函数。定义5.1.2受扰运动系统状态的零输入响应定义5.1.3平衡状态如果对于所有的t总存在着则称xe为系统的平衡状态。如果系统是线性定常的，则称为x向量的欧几里德范数。定义5.1.4欧几里德(Euclid)范数n维空间中的任意一个点当A非奇异，原点是系统唯一的平衡状态。当A奇异，则存在无穷多个平衡状态。到原点距离表示在n维平衡状态xe周围，半径为k的超球域，其中研究平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的结构因素返回到平衡状态，或限制在他的一个有限领域内。稳定与一致稳定渐近稳定与一致渐

5、近稳定不稳定定义5.1.5稳定系统(5.1.1)中，对，若使得由满足不等式则称xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图xe－平衡状态x0－初始状态定义5.1.6一致稳定如果δ只依赖于ε而和t0的选取无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。对于定常系统，稳定和一致稳定是等价的。通常要求系统是一致稳定的。定义5.1.7渐近稳定如果xe是李雅普诺夫意义稳定的，并且对于　　和总使得由满足不等式则称平衡状态xe是渐近稳定的。的任一初态x0出发的受扰运动都

6、满足不等式随着μ→0，显然有T→∞，因此原点的平衡状态xe为渐近稳定时，必成立既反映了运动的有界性，同时又反映了运动随时间变化过程的渐近性。二维空间李雅普诺夫意义下渐近稳定性的几何解释示意图xe－平衡状态x0－初始状态定义5.1.8一致渐近稳定如果实数δ和T的大小都不依赖于初始时刻t0，则称平衡状态xe是一致渐近稳定的。对于定常系统，渐近稳定和一致渐近稳定是等价的。从实际应用的角度，渐近稳定性比稳定性重要，一致渐近稳定又比渐近稳定重要。定义5.1.9大范围渐近稳定则称平衡状态xe=0为大范围渐近稳定的。如果从状态空间的任

7、一有限非零初始状态x0出发的受扰运动　　　　　都是有界的，且满足在时，另一种说法：如果xe=0是稳定的平衡状态，且当t→∞时，系统(5.1.1)的每个解都收敛于xe=0，则此平衡状态就是大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统，若其平衡状态为渐近稳定，则必然是大范围渐近稳定。定义5.1.10不稳定如果平衡状态既不是稳定的，更不是渐近稳定的，则称此平衡状态为不稳定的。在不稳定平衡状态下：对于某个实数和，在超球域内始终存在状态x0，使得从该状态开始的受扰运动要突破超球域

8、二维空间不稳定的几何解释示意图x0－初始状态图(a),(b),(c)分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。取平衡状态xe=0。S(ε)是由初始状态x0所引起的运动轨迹的边界，S(δ)表示x0的取值范围。几种稳定性之间的关系定义5.1.11正定函数令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包