资源描述：
《李亚普诺夫稳定性分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章李亚普诺夫稳定性分析4.1引言4.2李亚普诺夫稳定性的基本概念4.3李亚普诺夫稳定性定理4.4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4.5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法4.6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析4.7李亚普诺夫直接法应用举例4.1引言稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结构性质。稳定性是自动控制系统能否正常工作的先决条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。一个动态系统的稳定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说,稳定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态
2、的性能,其是系统的一个自身动态属性。1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性,因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定性;状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性
3、,且全面揭示了系统的内部特性,因此,借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。李亚
4、普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时
5、变系统的稳定性分析,则更能显示出优越性。4.2李亚普诺夫稳定性的基本概念4.2.1平衡状态稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为（4-1）式中,x为n维状态向量，且显含时间变量t；为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为(4-2)式(4-1)的解为(4-3)式中,为初始时刻,为状态向量的初始值式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态点，当系统运动到达该点时，系统状态
6、各分量维持平衡，不再随时间变化，即，该类状态点即为系统的平衡状态,即若系统式（4-1）存在状态向量,对所有时间t,都使(4-4)成立,则称为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。式(4-4)为确定式（4-1）所描述系统平衡状态的方程。【例4-1】设系统的状态方程为,求其平衡状态。解其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即,即,解之,得系统存在3个孤立的平衡状态4.2.2范数n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原点的距离)称为向量x的范数，并用表示，即(4-6)而向量的长度(即x到的距离)称为的
7、范数,并用表示，即(4-7)在n维状态空间中,若用点集表示以为中心、为半径的超球域,那么,,则表示(4-8)4.2.3李亚普诺夫稳定性定义1．李亚普诺夫意义下稳定设为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意实数,都对应存在另一实数,使当(4-11)时,系统式（4-1）从任意初始状态出发的解都满足(4-12)则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定,其中,与和有关;若与无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。对定常系统而言,与无关,稳定的平衡状态一定为一致稳定。在二维状态空间中,李亚普诺夫意义下稳定的几何解释如图4-1所示。图4-
8、1李亚普诺夫意义下稳定2．渐近稳定（经典控制理论稳定性定义）设为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意实数,对应存在另一实数，使当时，从任意初始状态出发的解都满足且对于任意小量总有(4-13)则称平衡状态是渐近稳定的。若与无关,则称这种平衡状态是一致渐近稳定的。渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态为李亚普诺夫
