李亚普诺夫稳定性分析

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1、9.4李雅普诺夫稳定性分析概述一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据、根轨迹判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些稳定性判别方法只适

2、用于线性定常系统,不能推广到时变系统和非线性系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857–1918)发表题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。百余年来,李雅普诺夫理论得到极大发展,在数学、力学、控制理论、机械工程等领域得到广泛应用。李雅普诺夫把分

3、析一阶常微分方程组稳定性的所有方法归纳为两类。第一类方法是将非线性系统在平衡状态附近线性化,然后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线性系统的稳定性问题。这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法的思路是一致的。该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来分析判别稳定性。由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来

4、分析线性定常系统,而且也能用来研究时变系统、非线性系统,甚至离散时间系统、离散事件动态系统、逻辑动力学系统等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得到了进一步研究和发展。本章节将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫第一法和

5、第二法的理论及应用。1平衡状态设我们所研究的系统的状态方程为其中x为n维状态变量；f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的线性或非非线性向量函数。一、李雅普诺夫稳定性概念如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态（平衡点）。平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令所求得的解x,便是平衡状态。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡状态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。显然，对于线性定常系统的平衡状态xe是满足下述方程的解。Axe=0当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态

6、xe=0;而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态，且这些平衡状态不为孤立平衡状态，而构成状态空间中的一个子空间。对于非线性系统，可以存在一个或多个平衡状态，它们分别为对应于式f(x,t)0的常值解。例如，对于非线性系统其平衡状态为下列代数方程组的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提某一平衡状

7、态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。2李雅普诺夫意义下的稳定性在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数学名词和符号：范数球域然后介绍李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。1)范数范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为

8、

9、x1-x2

10、

11、。由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种具体范数的定义。在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。2)球域以n维空间中的点xe为中心,在

12、所定义的范数度量意义下的长度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,),即S(xe,)包含满足

13、

14、x-xe

15、

16、的n维空间中的各点x。3）李雅普诺夫意义下的稳定性若状态方程所描述的系统,对于任意的>0和任意初始时刻t0,都对应存在一个实数(,t0)>0,从任意位于球域S(xe,)的初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域S(xe,)内,则称系