Maple理论力学 II 第2版 李银山 第17章虚位移原理

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1、第17章虚位移原理本章讨论分析力学基本概念及解决质点系平衡问题的静力学普遍方程——虚位移原理。与矢量静力学相同，分析静力学也研究物体在力系作用下的平衡规律，但分析静力学的主要研究对象为受约束的质点、质点系或刚体、刚体系。首先回顾在运动学中已经建立起来的约束概念和表达方法，然后叙述作为分析力学基本原理之一的虚位移原理，建立分析力学方法的基本概念。利用分析力学的另一个基本原理即达朗贝尔原理，静力学的结论很容易扩展到动力学领域。分析动力学研究非自由质系运动的一般规律。达朗贝尔—拉格朗日原理又名动力学普遍方程，在分析动力学中是推导各种动力学方程的基础。17.

2、1虚位移17.1.1约束我们来研究质点系相对于固定笛卡尔坐标系的和速度确定。系统运动和速度的限制不因受力而改变，称为约束。如果系统不受约束，则系统称为自由的。当存在一个或多个约束时系统称为非自由的。运动，系统的状态由系统内点的矢径时其各点的位置和速度经常不能是任意的，对矢径例1质点可以沿着过坐标原点给定的平面运动。如果笛卡尔坐标系统的轴垂直于该平面，则是约束方程。例2质点沿着以原点为中心半径为的球面运动。如果是运动点的坐标，则。约束方程为例32个质点和用长为的不可伸长的绳相连，约束用关系式给出例4质点在空间中运动并保持在第一象限内或边界上，约束用不等

3、式，，给出。例5（冰刀的运动）设冰刀沿着水平冰面运动。冰刀以细杆为模型，在运动过程中杆上一个点（见图17-1）的速度轴竖直向上，是的坐标，而是杆与轴的夹角，则约束由2个方程，给出。始终沿着杆。如果图17-1冰刀的运动图17-2纯滚动的圆柱例6（纯滚动的圆柱）半径为的圆柱作纯滚动，如图17-2所示。，，其中为圆柱的转角。圆柱有约束１.双向约束与单向约束一般情况下约束用关系式(a)给出。等式约束方程对应的约束称为双向约束，或双面约束（图17-3a）。在上面的例1、例2、例5和例6中，约束是双向的。这里表示双向约束数。如果约束关系出现不等号形式时，(b)不

4、等式约束方程对应的约束称为单向约束，或单侧约束（图17-3b）。在上面的例3、例4中，约束是单向的。这里表示总约束数。下面我们不再研究有单向约束的系统。(a)双向约束(b)单向约束图17-3单摆２.位形空间和位置约束(c)此约束方程对应于位形空间中的超曲面，称为约束曲面。上面的例1、例2是位置约束。单个质点是的特殊质点系，所对应的位形空间就是实际三维空间，约束曲面是三维空间中的实际曲面，约束的作用是迫使实际质点沿实际的约束曲面运动。对于的一般质点系，上述位形空间和约束曲面都是抽象概念。必须注意，位形空间中的抽象与三维空间中的实际质点，是截然不同的两种

5、概念。的特殊质点系，所对应的位形空间3.状态空间和运动约束运动中的质点在任一瞬时所占据的位置及所具有的速度合起来称为质点在该瞬时的运动状态。采用直角坐标系时，质点的运动状态由六个标量、完全确定，称为状态变量。、、、、建立抽象的六维正交欧氏空间状态空间，或相空间，则质点在每个瞬时的运动状态与状态空间中的点一一对应，后者称为相点。，称为质点的随着时间的推移，相点在相空间中位置亦随之改变，所描绘出的超曲线称为质点运动的相轨迹。应注意状态空间与实际空间、相点与实际质点、相轨迹与实际运动轨迹是根本不同的两种概念。实际空间中的运动轨迹只能表示质点空间位置的变化，

6、而状态空间中的相轨迹则能给出质点的空间位置和速度变化过程的全貌。对于由个质点组成的质点系，系统内各质点维空间状态空间。的坐标和速度共，称为质点系的仅对速度所加的限制称为速度约束。不仅对位置而且对速度所加的限制称为运动约束，对应的约束方程为(d)上面的例5和例6是运动约束。4.几何约束、微分约束约束方程中只含力学系统中质点坐标和时间的约束称为几何约束，对应的约束方程为(17-1)几何约束包括位置约束和可用几何约束形式表示的运动约束约束方程中不仅包含质点坐标、时间而且包含速度的约束称为微分约束。微分约束包括可积微分约束和不可积微分约束。可积微分约束可以转

7、变为几何约束。位置约束是力学概念，几何约束是数学概念。位置约束属于几何约束，如例１；但反过来不成立，几何约束不一定是位置约束，还包括可积分的运动约束，如例６中约束可写成。运动约束是力学概念，微分约束是数学概念。运动约束不一定是微分约束，运动约束也可以采用几何约束形式表示，如例6；反过来微分约束也不一定是运动约束，用几何约束表示的位置约束求导后可以变成微分约束。假设相应的不可积微分约束对于速度分量是线性的，(17-2)其中系数，均为和的函数。特殊情况下和可以等于零。若则称为关于速度是齐次的约束；是非齐次的约束。反之关于速度几何约束和不可积一阶线性微分形

8、式的双向约束称为普发夫(Pfaff)约束。我们把不可积的一阶线性微分约束数用表示。我们只讨论普发夫(Pfaf