Maple理论力学 I 第2版 李银山 第9章刚体的平面运动

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1、第9章刚体的平面运动除了平行移动和定轴转动外，另一种常见的刚体运动是平面运动。研究刚体的平面运动有两方面的意义。一方面，在工程中有许多机构的运动是平面运动或者可以简化成平面运动，因此具有直接应用的意义；另一方面，掌握了研究平面运动的理论和方法后，就可以处理更复杂的运动，因此它是研究复杂运动的基础。对于刚体的较复杂的运动形式，可利用复合运动的概念将其分解为刚体的基本运动进行讨论。刚体的平面运动，可看作是刚体的平行移动和定轴转动的合成。本章用分解和合成的思想，建立平面运动刚体上各点速度之间、加速度之间的关系。9.1刚体平面运动的分解9.1.1刚体平面运动的运动方程刚体运动

2、时，如体内任意点与定参考系中某个固定平面始终保持等距离，则此运动称为刚体的平面运动。图9-1刚体平面运动实例过刚体内任意点作平行于固定平面的平面，它与刚体相交截出一刚性截面，当刚体内任意点始终保持平面等距离时，此截面必保持在平面内运动。过点作垂直于平面的直线，则此直线上所有点的运动均与点的运动相同（见图9-2a）。因此刚体的平面运动可用此刚性截面在自身平面内的运动完全表达。(a)刚体平面运动定义(b)动点和基点图9-2刚体平面运动(9-1a)(9-1b)这就是刚体平面运动的运动方程图9-3刚体平面运动的固定和固连坐标系图9-4刚体平面运动的平行移动参考系和是时间的单值

3、连续函数：9.1.2平面运动分解为平行移动及定轴转动为了研究平面运动，除以上固定坐标架和固连坐标架以外，我们再引入一个中间坐标架，它的原点就是固连坐标架的原点，即基点，它的基矢量取得与固定坐标架的基矢量一致，称之为平行移动坐标架。分别求得平行移动坐标架（亦即基点）的速度和刚性截面相对平行移动坐标系定轴转动的角速度：（9-2a），（9-2b），分别求得平行移动坐标架（亦即基点）的加速度和刚性截面相对平行移动坐标系定轴转动的角加速度：，（9-3a），，（9-3b）图形的平行移动部分与基点选择有关；图形的转动部分与基点选择无关。图9-5选择不同基点的刚体平面运动9.1.3平

4、面运动刚体上动点和基点的关系(9-4)(a)(9-5)平面运动刚体上动点和基点的速度关系平面运动刚体上动点和基点的加速度关系(b)(9-6)图9-6平面运动刚体上动点和基点的关系图9-7速度合成的基点法9.2刚性截面内点的速度9.2.1基点法定理：平面运动刚体上动点的速度等于基点的速度与动点绕基点圆周运动速度的矢量和。(9-7a)(9-7b)1.矢量法证明证明：#由式(9-5)知。#动点和基点速度的定义。#提取求导符号。#由式(9-4)知。#由式(7-11)知。□2.在固连坐标系中证明刚体上任一点，在固连坐标系中的矢径(9-9a)刚体转动的角速度(9-9b)其中坐标是

5、常量，即，。证明：#由式(9-5)知。#速度的定义。#式(9-9)对时间求导。#由式(7-11)知，，。#提取角速度。#再利用式(9-9)。□3.在平行移动坐标系中证明刚体上任一点，在平行移动坐标系中的矢径(9-10a)刚体转动的角速度(9-10b)其中基矢量是常矢量，即，，。证明：#由式(9-5)知。#速度的定义。#式(9-10)对时间求导。#，。#整理。#再利用式(9-10)。□（9-11a），，，（9-11b）其中9.2.3.速度投影法速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等；平面图形角速度的代数值等于这两点的速度在其连线垂直正方向上的

6、投影之差与这两点之间的距离的比值。即(9-12a)(9-12b)其中两点连线的垂直方向规定为：将平面图形的角速度按逆时针分析，此时的指向就是过点的、两点的连线的垂直正方向。采用这种规定以后，若由式(9-12b)求得为正值时，即为逆时针转向。证明：(a)(b)于是得(d)(c)因为和是刚体上两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在方向上的分量必须相同，否则，线段不是伸长，便要缩短。因此，这定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体作其它任意运动。9.2.3速度瞬心法或(e)得到点称为刚性截面的瞬时速度中心，简称速度瞬心。（9-13）这个定理也可以由下面的理由

7、来说明：因为和是刚体上两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在方向上的分量必须相同，否则，线段不是伸长，便要缩短。因此，这定理不仅适用于刚体作平面运动，而且也适用于刚体作其它任意运动。这种求速度的方法称为速度投影法过速度瞬心作与刚性截面垂直的轴，由于轴上每一点的速度均等于零，因此轴称为刚体的转动瞬轴。式（9-13）与刚体绕轴作定轴转动时刚体内点的速度分布公式有完全相同的形式。但速度瞬心并不是固定点，因为速度瞬心只在这一瞬时速度为零，而不同的瞬时有不同的速度瞬心位置。(a)(b)(c)(d)图9-8刚性截面的速度瞬心（1）两点的速度和方向已知，