第一节 方差分析的基本原理

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1、一、线性模型与基本假定假设某单因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表5-1所示。xij可以表示为第一节方差分析的基本原理与步骤7/16/2021其中，为第i个处理观测值总体平均数；为试验误差、相互独立、且服从正态分布N（0，σ2）。若令则（5-1）式可以改写为（5-4）7/16/2021其中，μ为全试验观测值总体平均数；是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。显然有（5-4）式叫做单因素完全随机设计试验资料的数学模型。7/16/2021表示为总平均数μ、处理效应αi

2、、试验误差εij之和。由εij相互独立且服从正态分布N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等，σ2则必须是相等的。7/16/2021所以，单因素完全随机设计试验资料的数学模型可归纳为：效应的可加性（additivity）分布的正态性（normality）方差的一致性（homogeneity）7/16/2021二、平方和与自由度的分解在方差分析中用样本方差即均方来度量资料的变异程度。在表5-1中，度量全部观测值总变异的总均方分解为

3、度量处理间变异的处理间均方和度量处理内变异的处理内均方两部分。7/16/2021统计学上，这种分解是通过将总均方的分子──称为总离均差平方和，简称为总平方和，分解为处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母──称为总自由度，分解为处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。7/16/2021（一）总平方和的分解在表5-1中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记为SST。即因为7/16/2021其中7/16/2021所以式中，为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反

4、映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，即7/16/2021为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即于是有SST=SSt+SSe7/16/20213种平方和的简便计算公式矫正数7/16/2021（二）总自由度的分解在计算总平方和时，资料中kn个观测值的离均差要受这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减一，即kn-1。总自由度记为dfT，dfT=kn-1。7/16/2021在计算处理间平方和时，k个处理均数的离均差要受这一条件的约束，故处

5、理间自由度为处理数减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-17/16/2021在计算处理内平方和时，kn个离均差要受k个条件的约束，即故处理内自由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k。处理内自由度记为dfedfe=kn-k=k(n-1)（i=1,2,…,k）7/16/2021因为所以7/16/2021各项平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为MST（或）、MSt（或）和MSe（或），即7/16/2021【例5-1】有一水稻施肥的盆栽试验，设置了5个处理：A1和A2分别施用两种不

6、同工艺流程的氨水，A3施碳酸氢铵，A4施尿素，A5不施氮肥。每个处理各4盆（施氮处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有5×4＝20盆，随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/盆）列于表5-2。7/16/2021各项平方和与自由度计算如下7/16/20217/16/2021方差分析就是通过MSt与MSe的比较来推断是否为零即是否相等。三、F检验相当于μ1=μ2=…=μk7/16/2021统计学已证明，在的条件下，服从自由度df1=k-1与df2=k（n-1）的F分布。即7/16/2021若实际计算的F值大于，则F值在α=0

7、.05的水平上显著，我们以95%的可靠性(即冒5%的风险)推断MSt代表的总体方差大于MSe代表的总体方差，即这种用F值出现概率的大小推断一个总体方差是否大于另一个总体方差的方法称为F检验(F-test)。7/16/2021对于单因素完全随机设计试验资料的方差分析:无效假设H0：μ1=μ2=…=μk备择假设HA：各μi不全相等或F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内(误差)均方。7/16/2021实际进行F检验时，是将由试验资料所算得的F值与根据df1=dft(大均方即分子均方的自由度)、df2=df

8、e(小均方即分母均方的自由度)查附表4所得的临界F值，相比较作出统计推断。7/16/2021若F＜，即p＞0.05，不能否定统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著或简述为F值不显著，在F值的右上方标记“ns”，或不标记符号；H0：7/16/2021若≤F＜即0.01＜p≤0.05，否定H0：