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1、第二章方差分析基本原理第一节方差分析基本原理方差分析的基本原理一、模型构造表2.1次数水平12…j…r总平均A1y11y12…y1j…y1rA2y21y22…y2j…y2r……………………Aiyi1yi2…yij…yir…………………Aaya1ya2…yaj…yar单因素等重复实验的典型数据我们的兴趣在于检验处理均值的等式；也就是至少有一对（i,，j）二、偏差的构造为了检验零假设H0，首先讨论单因素等重复试验的各种偏差，有三种偏差：总偏差、条件偏差、试验偏差总偏差条件偏差它是由A的不同水平引起的，也称组间平方和试验偏差它是由各水平内
2、的偏差引起的，也称组内平方和利用偏差平方和来作为数据变异性的一个度量，直观看，这是合理的。但在同样的波动程度下，测定数据越多，偏差平方和就越大，因此仅用偏差平方和来反映变异显然不够，还应当考虑测定数据个数的贡献，即要考虑测定相对偏差平方和离均差平方和的分解组间变异总变异组内变异相对偏差平方和=偏差平方和偏差平方和的自由度通常，随机变数的自由度是由数据个数n以及数据所受的线性约束方程个数m所决定的。即当n个随机变数x1，x2，…，xn，受到且仅受到m个独立方程约束时，则这n个数据的平方和的自由度为n-m。所以，总平方和的自由度为：因素
3、偏差平方和的自由度为：误差偏差平方和的自由度为：因素均方差误差均方差随机变量的自由度是由数据个数n及数据所受的线性约束方程个数m所决定的。当n个随机变量x1,x2,……,xn受到且受到m个独立方程约束时，则这n个数据的平方和的自由度为n-m。a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0……………am1x1+am2x2+…+amnxn=0方程组的系数矩阵为m举例:假定样本有三个数据：x1=2；x2=4；x3=9,则当确定后，x1，x2，x3只有两个数值可以自由取值，比如：x1=6；x2=7，那x
4、3则必然取2，而不能取其他值令（i=1,2,…,n)则：由此来看平方和的自由度，其中：当xi满足关系：也即时，数据满足且满足下面一个关系式：因为：可见：平方和仅受到式约束所以平方和的自由度为数据的个数n减去约束方程个数1。结论:若一组随机变数的平均数为则平方和的自由度为n-1■总平方和ST的自由度数据yij共N=ar个,它们仅受到的约束因此其自由度为■因素A偏差平方和SA的自由度因此其自由度为a个数据与有关系■误差平方和Se的自由度所以,误差平方和Se的自由度为数据yij的个数ar减去约束方程个数a因此其自由度为三个自由度有如下关系
5、假设有a个独立的样本：Y1：y11y12…y1j…y1rY2：y21y22…y2j…y2r……………Ya：ya1ya2…yaj…yar……它们分别来自具有相同方差的a个正态总体：、……如果原假设成立的话，H0：那么就意味着这a个正态总体不但方差相同，均值也相等。从这a个完全相同的正态总体中各抽取一个容量为r的样本，就相当于从一个正态总体中分别抽取了a个样本由数理统计无偏估计理论，1.抽自正态总体的样本x1，x2……，xr无偏方差是总体方差的无偏估计，也即结论2.来自同一正态总体的a个容量为r的样本均值服从于正态分布根据以上1、2两点
6、知识，我们知道：若Y1,Y2,……，Ya是来自正态总体的a个样本，则a个样本的均值y1．,y2．,……，ya．也就服从正态总体。又注意到y1．,y2．,……，ya．的均值为进而又有y1．,y2．,……，ya．的无偏方差，是正态总体的方差的无偏估计亦即上式括号中恰是因素均方差结论：在原假设H0成立的前提下，统计量是总体的无偏估计量子样的无偏方差是的无偏估计即不难证明，误差均方差也是总体方差的无偏估计量，事实上由～，及均值为yi．上式两边关于i求和，得亦即括号中便是结论：误差均方差是总体方差的无偏估计三、F统计量的构造由以上分析知，在原
7、假设成立的前提下，因素均方差误差均方差～～这清楚地表明，检验处理均值之间有没有差异，这一假设可以代之以比较因素均方差和误差均方差来实现。很接近于1如果因素均方差比误差均方差大得很多，即F值比“1”大得多，则与原假设相矛盾。四、F统计量的分布关于数理统计中分布的定义可知：当是来自正态总体的一个子样时，有～那么如果当原假设是正确的，由分布的定义及性质，就有～～分布具有可加性,+～若,且独立,则～～～因此～由于～～综上结论，由F分布定义可知：设随机变量Y与Z相互独立,且Y和Z分别服从自由度为m和n的分布,则随机变量X有如下表达式:则称X服
8、从第一自由度为m,第二自由度为n的F分布,记为X～F(m,n)F（1,10)(5,10)(10,10)由此得:～～～～～四、F统计量的检验对于给定的检验显著性水平a,﹛F≥Fa﹜=a当一次检验中给出现F≥Fa。这一小概率事件时,有理由
