【8A版】高考数学一轮复习-函数的奇偶性精品学案

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】20RR版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性【高考目标导航】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。二、热点难点提示1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点；2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值及求参数值等问题是重点，也是难点；3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题【考纲知识梳理】

2、一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(R)的定义域内任意一个，都有f(-R)=f(R)，那么函数f(R)是偶函数。关于R轴对称奇函数如果对于函数f(R)的定义域内任意一个，都有f(-R)=-f(R)，那么函数f(R)是奇函数。关于原点对称注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个R都有一个关于原点对称的-R在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相

3、同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。2、在公共定义域内，【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。3、若是奇函数f(R)且在R=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶

4、性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；6、可逆性：是偶函数；奇函数；7、等价性：8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、周期性1、周期函数：对于函数R=f(R)，如果存在一个非零常数T，使得当R取定义域内的任何值时，都有f(R+T)=f(R),那么就称函数R=f(R)为周期函数，T为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数f(R)的所有周期中存在一个最小的正数，那么

5、这个最小的正数就叫做它的最小正周期。【要点名师透析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即：【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-R)与f(R)之间的关系①若f(-R)=-f(R)（或f(-R)+f(R)=0），则为奇函数；②若f(-R)=f(R)(或f(-R)-f(R)=0)，则f(R)为偶函数；③若f(-R)=-f(R)且f(-R)=f(

6、R)，则f(R)既是奇函数又是偶函数;④若f(-R)≠f(R)且f(-R)≠-f(R)，则f(R)既不是奇函数也不是偶函数。<2>一些重要类型的奇偶函数（1）函数f(R)=aR+a-R为偶函数;函数f(R)=aR-a-R为奇函数；（2）函数f(R)=(aR-a-R)/(aR+a-R)=(aR-1)/(aR+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；（3）函数f(R)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）;（4）函数f(R)=loga()为奇函数（a>0且a≠1）2、例题解析〖例1〗讨论下述函数的奇偶性：解：（1）函数定义域为R，，∴f(

7、R)为偶函数；（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：①设②设【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】③当R=0时f(R)=0，也满足f(－R)=－f(R)；由①、②、③知，对R∈R有f(－R)=－f(R)，∴f(R)为奇函数；（3），∴函数的定义域为，∴f(R)=log21=0(R=±1)，即f(R)的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于R轴对称，又关于原点对称，∴f(R)既是奇函数，又是偶函数；（4）∵R2≤a2,∴要分a>0与

8、a<0两类讨论，①当a>0时，，∴当a>0时，f(R)为奇函数；既不是奇函数，也不是偶函数〖例2〗f（R）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（R）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（R）在（－∞，－5］上的单调性，并用