高一(清北班)资料1(集合综合)

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1、专题一：集合综合选讲一、重要知识清单（一）集合的概念1．集合元素的三性：①元素的确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。（如“我班的高个子”能否组成一个集合？）②元素的互异性：集合中的元素是没有重复现象的。任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。（如不能组成集合），（一元二次方程有二等根时，其解集只有一个元素）③元素的无序性：（即与表示同一集合）2．集合的表示方法：①列举法：代表由元素组成的集合（或，这里表示指标集）；②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。一般记为，使命题为真的中诸元素之集。AA③文氏（韦恩图）法

2、：用或表示集合的方法。（二）集合与集合的关系（“包含”与“不包含”关系）1.子集：任意，则（或）()；（否则存在，则（或）（，）性质：①，特别地；②；③传递性：。任意两集合、间的五种关系：“不包含”关系“包含”关系2.真子集：任意，且存在，但，则（）。性质：①，，则；②，则（但错误）。3.集合相等：对于集合、，若且，则。（用于证明两集合相等）第10页共10页注意区分几个符号：①“”与“”；②“”与“”；（对吗？）③“”与“”；（对吗？）注：①“”或“”是对的；②“”或“”是对的。4.全集、补集：（1）补集：若，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补（余）集。记。（补集是相对

3、于全集而言的）（2）全集：含有所要研究的集合的全部元素的那个集合称为全集。用等来表示。（3）补集的性质：①；②；③。（三）集合的运算1．交集：且（注意“且”不能用“和”、“与”等代替，它相当于“同时”、“都”、“既…又…”等意思）性质：①；②；③交换律：；④结合律：；⑤。2．并集：或（“或”有三层意思：①只属于不属于的元素；②只属于不属于的元素；③既属于又属于的元素。）性质：①；②；③交换律：；④结合律：；⑤。（于是）3．子、交、并、补集的混合性质：（设全集为）①；②；③分配律：；④；⑤；第10页共10页⑥摩根定律（又叫反演律）：。4．容斥原理：（其中━━表示集合中元素的个数）①；

4、②。二、集合综合应用选讲1．元素与集合、集合与集合的关系：例1．（1）设全集，已知集合，，，，则___________；_______________；________________；_____________；_________________。（2）集合，求与的关系。练习：设A、B为两个集合，下列四个命题：①AB对任意；②AB；③ABAB；④AB存在。其中真命题的序号是________（把符合要求的命题序号都填上）。（3）设,是的子集,且中至少含有一个立方数,则这种子集的个数是。例2．满足条件的函数形成了一个集合，其中，并且，求函数与集合的关系。第10页共10页例3.对于函数

5、,若,则称为函数的不动点；对于函数,若，则称为函数的稳定点。记函数的不动点与稳定点的集合分别为和，即。（1）求证：。（2）设，①当时，求集合；②如果是单元素集，试判断集的关系。（3）若，且，求实数的取值范围。第10页共10页例4.已知为有限集,且,满足集合中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合。2．集合开放性问题：例1.（1）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（）A0B6C12D18（2）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）。若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成

6、立的是（）A　B　C　D　（3）已知集合，且，则集合、、所有可能的情况有种。（4）设集合,都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（）A　10B　11C　12D　13第10页共10页例2.已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，。其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和。若对于任意的，总有，则称集合具有性质。（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论。3．集合的运算与含参问题：例1．（1）已知集合，，且，求的值。（

7、2）设集合，。若，求的值。第10页共10页（3）已知集合，若，求实数的取值组成的集合。变式练习：已知集合，且，求实数的取值范围。（4）已知集合，，且，求的取值范围。（5）已知，求成立时，求实数的取值范围。例2．已知集合，问：（1）当取何值时，为含有两个元素的集合？（2）当取何值时，为含有三个元素的集合？第10页共10页例3.设集合，集合，集合。（1）若对任意的，使得，试求实数的取值范围；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由。作业：A组题1．给