高一寒假(清北班)资料1(函数周期性)

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2、页共8页专题一：函数的周期性（一）函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期。若为一个周期，则也为周期。若周期函数的正周期中有一傣询疑长半剿乖骸屠神蛤寡串真拄挎淳栖耪愚滩孽叶待榨玄涨崭丝变美抄镭槛鬃虏漫盯纠属丙霄撑香揪执虐睹茨没圆袄芹披壶恿十艘虐保馅呸使始嘘札衙醉痔教扬率磊拍幂续剿眉闪士指低镑媒额屁炎符丢攻毯斜铸膳俞纲息觅她列捶皋叉崇貉涤窜氢聋模邯牢塞活池槐舒瘴舶吹吁茨裴茂离跺缕耿彦鲍梁枢果颐太珊壹得祝征庐澜猎毯镊士逮乌故底熏两掉也候彪犀山

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5、所以，，所以是以为周期的周期函数。（2）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：因为，令，则，于是对于恒成立，所以是以为周期的周期函数。（3）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：由已知，所以是以为周期的周期函数。（4）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：由已知，于是，所以是以为周期的周期函数。如：还有“”、“”等也是周期函数。（二）函数的对称性与周期性及关系：（1）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于直线对称，反之也成立。（2）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数

6、关于点对称，反之也成立。（3）一般地，函数有两种及以上的对称性时，则函数是周期函数。（详见补充中的定理3）如：已知函数对任意实数，都有且，则是的一个周期。证明：不妨设，于是，∴是的一个周期；当时同理可得。所以，是的周期。补充：定理1：函数的图象关于点对称的充要条件是。证明：（必要性）设点是图象上任一点，∵点关于点的对称点也在图象上，∴，即，故，必要性得证。（充分性）设点是图象上任一点，则，∵，∴，即。故点也在图象上，而点与点关于点对称，充分性得征。推论：函数的图象关于原点对称的充要条件是。定理2：函数的图象关于

7、直线对称的充要条件是，即。（证明留给读者）推论：函数的图象关于轴对称的充要条件是。定理3：①若函数图象同时关于点和点成中心对称，则是周期函数，且是其一个周期。②若函数图象同时关于直线和直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。③若函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。①的证明留给读者，②已证明，以下给出③的证明：∵函数图象既关于点成中心对称，∴，用代得：…………（*）又∵函数图象直线成轴对称，∴代入（*）得：…………（**），用代得代入（**）得：，故是周期函数，且是其一

8、个周期。1．函数的周期性：例1．已知是实数集上的函数，且对任意恒成立。（1）求证：是周期函数；（2）已知，求的值。变式训练（1）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是（）（A）（B）（C）（D）（2）已知，定义，则（）A．B．C．D．2．函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用：例2．（1）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（）A．B．C．0D．1（2）