高一寒假(清北班)资料1(函数的周期性)

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1、专题一：函数的周期性（一）函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期。若为一个周期，则也为周期。若周期函数的正周期中有一个最小者，这个周期就叫最小正周期。（1）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：因为，所以，，所以是以为周期的周期函数。（2）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：因为，令，则，于是对于恒成立，所以是以为周期的周期函数。（3）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：由已知，所以是以为周期的周期函数。（4）已知函数对任意实数，都有，则

2、是的一个周期。证明：由已知，于是，所以是以为周期的周期函数。如：还有“”、“”等也是周期函数。（二）函数的对称性与周期性及关系：（1）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于直线对称，反之也成立。（2）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于点对称，反之也成立。（3）一般地，函数有两种及以上的对称性时，则函数是周期函数。（详见补充中的定理3）如：已知函数对任意实数，都有且，则是的一个周期。证明：不妨设，于是，∴是的一个周期；当时同理可得。所以，是的周期。补充：定理1：函数的图象关于点对称的充要条件是。证明：（必要性）设点是图象上任一点

3、，∵点关于点的对称点也在图象上，∴，即，故，必要性得证。（充分性）设点是图象上任一点，则，∵，∴，即。故点也在图象上，而点与点关于点对称，充分性得征。推论：函数的图象关于原点对称的充要条件是。定理2：函数的图象关于直线对称的充要条件是，即。（证明留给读者）推论：函数的图象关于轴对称的充要条件是。定理3：①若函数图象同时关于点和点成中心对称，则是周期函数，且是其一个周期。②若函数图象同时关于直线和直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。③若函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。①的证明留给读者，②已证明，以

4、下给出③的证明：∵函数图象既关于点成中心对称，∴，用代得：…………（*）又∵函数图象直线成轴对称，∴代入（*）得：…………（**），用代得代入（**）得：，故是周期函数，且是其一个周期。1．函数的周期性：例1．已知是实数集上的函数，且对任意恒成立。（1）求证：是周期函数；（2）已知，求的值。变式训练（1）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是（）（A）（B）（C）（D）（2）已知，定义，则（）A．B．C．D．2．函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用：例2．（1）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（）A．B．C．

5、0D．1（2）已知是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个交点，则实数的值是（）A.B.C.或D.以上答案都不对（3）已知函数是定义域为的周期为的奇函数，且当时，则方程在区间上的解的个数是。（4）定义在R上的偶函数满足：①对任意都有成立；②；③当且时，都有．则：（Ⅰ）；（Ⅱ）若方程在区间上恰有３个不同实根，则实数的取值范围是________。例3．设函数在上满足，且在闭区间上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。例4．已知函数是定义域为的奇函数，且它的图象关于直线对称。（1）

6、求的值；（2）证明函数是周期函数；（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。例5．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立。当时，。（1）求时，函数的表达式；（2）求时，函数的表达式；（3）若函数的最大值为，解关于的不等式。例6．设是定义在区间上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数恒有则称为定义在上的“函数”.（1）试判断函数是否为各自定义域上的函数，并说明理由；（2）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数.课后作业1．设是上的奇函数，，当时，，则（）A.B.C.D.2．已知函数为奇函数，函数

7、为偶函数，且，则＝__________。3．设f（x）是R上的奇函数，它在[-1，0]上是增函数，且，那么（）A．＜f（1）＜B．＜f（1）＜C．＜＜f（1）D．＜＜f（1）4.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）A.0B.1C.3D.55．已知是周期为2的奇函数，当时，，设则（）（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）6.（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_______________。7．是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则与的大小关系是______________

8、______。8．已知是定义在R上的函数，且，若，则的值为__________________。9．函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3