高一寒假(清北班)资料(数列求和与方法)

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1、专题九：数列求和与方法一、复习1．等差数列的前项和公式（1）；（2）。（注意推导方法）（2）当n为奇数时，（为中间项）由此可推：。当n为偶数时,，。2．等比数列的前n项和公式（注意等比时和的讨论）公式一：sn=（注意推导方法）公式二：sn=二、新课（一）数列求和的基本思想：将数列求和化为熟知的等差、等比数列求和。1．直接由等差、等比数列的求和公式求和：注意等比时和的讨论。2．几个基本求和：（1）；（2）；（3）。（二）数列求和的其它方法1．公式法求和：所给数列的通项是关于的多项式，此时求和可采用公式法求和。常用公式：（1）等差、等比数列的求和公式；（2）；。例1．求数列1，（3

2、+5），（7+9+11），（13+15+17+19），…的前n项和S。第12页共12页2．分组求和法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差、等比数列或熟知数列求和，这一求和方法称为分组求和法。例2．⑴求数列1，-3，5，-7，…，（-1）n+1·（2n-1），…的前n项和；变式：求数列的前项和为。⑵求和：1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1。变式练习：①求和：1·4+2·5+3·6+…+n(n+3)值；②求和：。3．乘比错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求

3、和可采用错位相减法。例3．⑴求数列第12页共12页⑵求和：x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn。例4．已知。（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求证：。4．逆（倒）序相加法：如果一个数列中，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。例5．（1）若函数求值：（2）令，，求的公式。第12页共12页5．裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差。在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法。例6．（1）求和

4、：（2）求和：变式：求和：。变式练习：数列{an}中，求数列{an}的前n项和Sn。（3）求和：①1·2·3+2·3·4+3·4·5+…+n(n+1)(n+2);②1·2·3·4+2·3·4·5+3·4·5·6+…+n(n+1)(n+2)(n+3);③12+22+32+…+n2;④13+23+33+…+n3;(发散：14+24+…+n4,…)第12页共12页例7．已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设试比较与6的大小。例8．（高考真题）已知，点在函数的图象上，其中。（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项和，并证明。6．

5、周期数列的求和：例9．数列{an}中，a1=4，a2=2，对n∈N*，都有an+2=an+1-an，求s2007值。第12页共12页《数列求和方法》作业1．⑴求和：1+2+3+4+…+（n+）；⑵若数列{an}的前n项和Sn=则a10+a11+…+a99=；⑶求和：n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1；⑷求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…（a>0）的前n项的和；2．将已知数列{}按如下分组：1，（），（），（），…问：⑴第1组到第k组共有多少个数？⑵第k组中的首数和尾数各是多少？⑶求第k组各数之和及前k组各数之和。3．已

6、知x∈(n，n+1)（n∈N*），使函数y=x(x-)的值是整数的x的个数记为an，求：⑴a1，a2之值；⑵用n来表示an的表达式；⑶求和：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1。第12页共12页4．求和：。5．数列{an}满足a1=2，a1+a2+a3=12，且an-2an+1+an+2=0(n∈N*)。⑴求数列{an}的通项公式；⑵令求数列{bn}的前n项和。6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(n∈N*)，又bn=(-1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn。7．已知函数对任意实数p、q都满足（1）当时，求的表达式；（2）设求证：。8．设数列满足，。

7、（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和。9．若数列满足，且第12页共12页（1）求数列的通项公式；（2）对于（1）中的数列，求证：。10．已知等差数列{an}中，a1=3，前n项和sn=。⑴求数列{an}的公差d；⑵记，且数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切n∈N*都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由。11．已知函数f(x)=logax(0