初三数学总复习——与圆有关的性质

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1、考点复习第十二单元圆第一讲与圆有关的性质圆的两种定义动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE几何语言垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所

2、对的两条弧。∴CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE垂径定理的本质是满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：ABCDOd+h=r垂径定理的应用hrd1、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段2、一个Rt△：半径、圆心到弦的

3、垂线段、半弦·OABC3、两个定理：垂径定理、勾股定理圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，都等于它所对的圆心角的一半。ABCOABCOABCO即∠BAC=∠BOCOαABA1B1α在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒圆心角定理OαABA1B1α同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。等对等定理(1)圆心角(2)弧(3)弦知一得

4、二等对等定理整体理解：OαABA1B1αOCABD如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形ABCD的外接圆。圆的内接四边形的对角互补。1．（2013•徐州）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为﹏．考点： 圆周角定理．分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠AOB=2∠C，进而可得答案．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=2×30°=60°．故答案为：60°．点评： 此题考查

5、了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．OABC60 °2．（13•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为____．分析：根据直线y=kx﹣3k+4=K(X-3)+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．解：∵直线y

6、=kx﹣3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24； 故答案为：24．点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．考点：一次函数综合题．243．（13•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为4.(13.宁波)如图，AE

7、是半圆O的直径，弦AB=BC=,弦CD=DE=4,连接OB,OD,图中两个阴影部分的面积和为＿解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2，过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在

8、等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2即圆O的半径为2故S阴影=S扇形OBD==10π．5．（13•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=﹏DABCO6．（12.泰州）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【】A．40°B．45°C．50°D．60°【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。【分析】连接OB，∵∠A