资源描述：
《第3章《导数及其应用-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第3章《导数及其应用-3.1.2》导学案(1)教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法,如下图:(图1)二、数学建构问题1 观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象? (图2)解 曲线在点P附近看上去几乎成了一条直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2 “几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置吗?又为什么
2、说是“几乎”?解 点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以图3为例.解 随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[2]概念生成动画演示,观察点Q的运动、直线PQ的运动、直线PQ斜率的变化,生成概念.(图3) (图4)Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.[3]问题4 对比平均变化率这一近似
3、刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即为切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[4]三、数学运用【例1】 用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P43)(例1图(1))(例1图(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否
4、用函数曲线的切线举出反例?[处理建议] 让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.[规范板书] 解 (1)与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个.图(2)中2个.不适用.[题后反思] 强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[5]变式 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?[规范板书] 解 2个.【例2】 (教材第71页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.(见学生用书P44)[处理建议] 为求得在点(2,4
5、)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.[规范板书] 解 设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.[题后反思] 本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式 已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.[规范板书] 解 设P(-1,-1
6、),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为kPQ==,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】 已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l的方程.(见学生用书P44)[处理建议] 应用平行直线的斜率关系和距离公式.[规范板书] 解 ==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题得=,解得c1
7、=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.[题后反思] 进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0). 变式 若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.[处理建议] 本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.[规范板书] 解 设切点为(x,ax2),==2ax+a
8、Δx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由可求得a=-.*【例4】 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[处理建议] 本题应设出切点(x0,),求出相应的切线方程,再根据此方程过点P(3,5),利用待定
