第3章 《导数及其应用-3-1

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1、第3章《导数及其应用-3.3.2》教学案（1）教学目标：1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值．3．掌握求可导函数的极值的步骤．教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤．教学过程：一、问题情境1．问题情境．函数的导数与函数的单调性的关系是什么？设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的减函数．2．探究活

2、动．用导数求函数单调区间的步骤是什么？(1)函数f(x)的导数．(2)令＞0，解不等式得x的范围就是递增区间．(3)令＜0，解不等式得x的范围就是递减区间．二、建构数学1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值

3、，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值，请注意以下几点：(1)极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．(2)函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值

4、点，而＞．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f(x0)是极大、极小值的方法．若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．5．求可导函数f(x)的极值的步骤．(1)确定函数的定义区间，求导数．(2)求方程＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开

5、区间，并列成表格．检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．三、数学运用例1　求f(x)＝x2－x－2的极值．例2　求y＝x3－4x+的极值．探索　若寻找可导函数极值点，可否只由f¢(x)=0求得即可？如x＝0是否为函数的极值点？四、随堂练习：1．求下列函数的极值．；；(3).2.已知函数的极大值为13，求m的值。3.函数，在时有极值10，求f(4)课后练习：1．对

6、于函数，下列命题正确的有________个．①是增函数，无极值；②是减函数，无极值；③的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为(0，2)；④是极大值，是极小值．2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的________条件．3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．4.求下列函数的极值：

7、(1)；(2)；(3)；(4).5．求函数的极值．6.已知函数有极大值和极小值，求a的取值范围.