《直线和平面所成的角》进阶练习（一）

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1、《直线和平面所成的角》进阶练习一、选择题1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)A.120°    B.60°     C.30°     D.以上均错2.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于(　　)A. B. C. D.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是（　　）A.15°     B.30°     C.45°     D.60°二、填空题4.正四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为______

2、．5.如图，在三棱锥A-BCD中，BC=CD=DB，AB=AC=AD；E，F为棱BD，AD的中点，若EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为______．参考答案1.C    2.A    3.B    4.5.1.【分析】本题考查直线与平面所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意法向量和方向向量知识的合理运用．由已知条件知直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于30°，由此能求出直线l与平面α所成的角的大小．【解答】解：∵直线l的方向向量与平面α的法向量大的夹角等于120°，∴直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于60°∴直线l与平面α所成的角等

3、于30°．故选C．2.【分析】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．【解答】解：故选A.3.解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，2）∴=（-2，0，2），=（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞==，∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为，∴BC1与平面BB1D1D所成角为30°．故选：B．建立空间直角坐标系，求出=（-2，0，2），=（-2，2，0），且为平面

4、BB1D1D的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值，即可得出结论本题主要考查了直线与平面之间所成角，重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系是解题的关键．4.解：如图所示，连接EF．不妨设BC=2，由正四面体可知：每个面都为正三角形，∴DE⊥BC，=BF=CF，∴FE⊥BC，∴FE=，BC⊥平面DEF，因此∠DEF为直线DE与平面BCF所成角．在△DEF中，由余弦定理可得：cos∠DEF==，∴．∴直线DE与平面BCF所成角的正弦值为．故答案为．利用正四面体的性质、等边三角形的性质、余

5、弦定理、线面角的定义即可得出．熟练掌握正四面体的性质、等边三角形的性质、余弦定理、线面角的定义是解题的关键．5.解：由题意可建立如下空间直角坐标系．其中点O为底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．不妨设BC=6，AB=2a．则OB==2．=．∴B，C，D，A，E，F．∴=，=．∵，∴==0，解得a=．∴A．又=（0，6，0），=．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，-1）．=．设直线BD与平面ACD所成的角为θ．则sinθ====．∴．故答案为：．由题意可建立如下空间直角坐标系．其中点O为底面△ABC的中心，AO⊥平面ABC．不妨设BC=6，AB=2a．利

6、用，可得=0，解得a=．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），利用，可取=（，0，-1）．设直线BD与平面ACD所成的角为θ．利用sinθ==即可得出．本题考查了正三棱锥的性质、平面的法向量、线面垂直的性质、线面角的计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．