直线与平面所成的角

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1、直线与平面垂直的定义：图形表示：αPl如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.记作垂足平面α的垂线直线l的垂面符号表示：文字表示：画法：直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。复习回顾直线与平面垂直的判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.关键：线不在多，相交则行符号语言图形语言文字语言Pmnlα3：如图，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC.AE⊥PB.求证：PC⊥AEPABCE1.如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么

2、条件时？底面四边形对角线相互垂直．探究知识探究（一）：平面的斜线斜线、当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条？αlP斜线斜足射影、过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.那么斜线l在平面α内的射影有几条？αlPAB思考1、两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考2、如图，过平面α外一点P引平面α的两条斜线段PA、PB

3、，斜足为A、B，再过点P引平面α的垂线，垂足为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大小关系如何？反之成立吗？αOPAB射影长定理：从平面外一点引的斜线段、垂线段中：相等的斜线段对应的射影长相等、长的斜线段对应的射影较长。思考、如图，过平面α内一点P引平面α的两条斜线PA、PB，这两条斜线段在平面α内的射影分别为PC、PD，如果PA>PB，那么PC与PD的大小关系确定吗？αCPABD如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）AB1在面A1B1CD中的射影（2）AB1在面CDD1C1中的射影（3）AB1在面BB1D1

4、D中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O巩固练习三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直PAOaPAOa三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直知识探究（二）：直线和平面所成的角思考1:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度，我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度，并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定，那么角的顶点宜选在何处？αl思考2:如图，AB为平面α的一条斜线，A为斜足，AC为

5、平面α内的任意一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB与平面α的相对倾斜度？为什么？αCAB思考3:如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAC>∠BAD思考4:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？αPAB定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.αPAB特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在

6、平面内时，规定它们所成的角为0°.强调:任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？思考1、比较异面直线所成的角、直线与平面所成的角1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。两直线所成角的取值范

7、围：[0o,90o]．AB1O平面的斜线和平面所成的角的取值范围：(0o,90o)．直线和平面所成角的取值范围：[0o,90o]．比较思考2、两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？αO例题讲解：练习：已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，PA=AB。1)求PC和平面ABCD所成的角2）求PC和平面PAD所成的角3)求PC和平面PAB所成的角PABCD拓展：如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知

8、∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD