直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角

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1、第九章　立体几何9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角创设情境　兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在如图所示的长方体中，直线和直线AD是异面直线，度量和，发现它们是相等的．如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线与直线AD相等？的平行线，它们所成的角是否与动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角nmnOnmO如图所示

2、，∥m、∥n，则与的夹角就是异面直线m与n所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O．如下图巩固知识　典型例题9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角ABCD例1如图所示的长方体中，，求下列异面直线所成的角：(1)与DC；(2)与解（1）因为DC∥AB，所以为异面直线与DC所成的角．即所求角为（2）因为∥，所以为异面直线与所成的角．在直角△中，所以即所求的角为运用知识　强化练习9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在如图所示的正方体中，求下列各直线所成的角的度数：创设情境　兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角正方体中，直线与

3、直线AB、BC、CD、AD、AC所成的角各是多少？可以发现，这些个角都是直角．动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与的交点叫做垂足．垂直，记作．直线l叫做平面的垂线，垂线l与平面平面画表示直线l和平面垂直的图形时，要把直线l画成与平行四边形的横边垂直（如图所示），其中点A垂足．创设情境　兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角将一根木棍PA直立在地面上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（如图），发现PA最短．动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的

4、角直线PB与平面相交但不垂直，则称直线PB与平面斜交，直线PB叫做的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P平面到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图所示，直线AB是斜线PB在平面内的射影．从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面的的距离．垂线段的长叫做点P到平面如图所示，，线段PA叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面内的射影．创设情境　兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角如图所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与

5、平面、平面与平面所成的角就是直线PB与平面如图所示，所成的角．斜线l与它在平面内的射影的夹角，叫做直线l与平面所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是动脑思考　探索新知9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角想一想如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？巩固知识　典型例题9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角例2如图所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=10．求（1）等腰AB

6、C的高AE的长；（2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1º）．解(1)在等腰ABC中，，故由BC=16可得BE=8.在AEB中，∠AEB=90°，因此巩固知识　典型例题9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角例2如图所示，等腰ABC的顶点A在平面外，底边BC在平面内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面的垂线段AD=10．求（1）等腰ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面所成的角的大小（精确到1º）．（2）联结DE.因为AD是平面的垂线，AE是的斜线，内的射影.所以DE是AE在是AE和平面所成的角.因此ADE中，在所以即斜线AE和平面所成的角约为运用知识　强

7、化练习9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角长方体ABCD−中，高DD1=4cm，底面是边长为3cm的正方形，求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小（精确到1′）.创设情境　兴趣导入9．3直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图（2））．（2）（1