《异面直线所成的角》进阶练习（二）

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1、《异面直线所成的角》进阶练习一、选择题1.如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　）A.30°              B.45°              C.60°              D.90°2.如图，在四面体S-ABC中，AB，BC，BS两两垂直，且AB=BC=2，BS=4，点D为AC的中点．若异面直线AS与BD所成角为θ，则cosθ的值为（　　）A.        B.        C.        D.-3.如图，等边三角形ABC的中线

2、AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（　　）A.异面直线A′E与BD不可能垂直B.恒有平面A′GF⊥平面BCDEC.三棱锥A′-EFD的体积有最大值D.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上4.二、填空题5.如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是______．6.三、解答题5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA⊥BD，∠BAD

3、=60°，AB=2（1）证明：PD=PB；（2）当PD⊥PB，二面角A-PB-C的余弦值为时，求此锥体的高？（3）在条件（2）下，研究在线段PB上是否存在点M，使得异面直线PA与DM成角的余弦值等于，并说明理由．参考答案1.C2.C3.A4.5.（1）证明：如图所示，连接AC，与BD相交于点O，连接OP．∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又AC∩PA=A，PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥OP．又OD=OB，∴PB=PD．（2）解：当PD⊥PB，由（1）可知：PD=PB，∴OP=OD=OB．过点P作PO1⊥AC，垂

4、足为O1，分别以O1A，O1E，O1P为x轴，y轴，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz．∵△ABD中，∠BAD=60°，AB=2=AD，∴OA=，OB=1=OD=OP．设O1A=a（不妨假设），则A（a，0，0），，C，∵O1P==．∴P．=，=，=．设平面ABP的法向量为=（x，y，z），，∴，取=．同理可得：平面CBP的法向量为=，∵二面角A-PB-C的余弦值为，∴===，解得a=．因此可得：点O1与O重合，因此此锥体的高为OP=1．（3）假设在条件（2）下，在线段PB上存在点M，使得异面直线PA与DM成角

5、的余弦值等于．A，P（0，0，1），B（0，1，0），D（0，-1，0）．=．设，则=（0，1-λ，λ），（0≤λ＜1），∴=（0，2-λ，λ）．∴===，解得λ=．∴M．因此在条件（2）下，在线段PB上存在点M，使得异面直线PA与DM成角的余弦值等于．1.  解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，

6、-1），=（-1，-1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选C本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．2.  解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，2，0），S（0，0，4），B（0，0，0），C（2，0

7、，0），D（1，1，0），=（0，-2，4），=（1，1，0），cosθ=

8、cos＜＞

9、===．故选：C．以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．3.  解：如图所示，A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B，A，A′（x，0，z）．=（-x，1，-z），=，由==0，解得x=，z==．因此取A′，可得A′E⊥AB，因此A不正确．

10、B．∵ED⊥FG，ED⊥GA′，FG∩GA′，∴ED⊥平面A′GF，∴恒有平面A′GF⊥平面BCDE．C．恒有平面A′DE⊥平面BCDE时，三棱锥A′-EFD的体积有最大值，正确；D．由A可知动点：A′在平面ABC上的射影在线段AF上，正确．故选：A．A．建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1