《用向量求异面直线所成的角》进阶练习（一）

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1、《用向量求异面直线所成的角》进阶练习一、选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为（　　）A. B. C. D.2.四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是(　　)A. B. C. D.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）A.- B. C. D.-二、填空题4.已知2+=（0，-3，-10），=（1，-2，-2），•=4，

2、

3、=12，则＜，＞=_

4、_____．5.已知空间三点A（1，1，1）、B（-1，0，4）、C（2，-2，3），则与的夹角θ的大小是______．参考答案1.B    2.B    3.B    4.5.1201.解：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴，∴=-，由平方关系得sin＜，＞=．故选：B建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的

5、平方关系求出两个向量的夹角正弦．本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、三角函数的平方关系．2.本题考查利用空间向量求异面直线所成的余弦值的求法，建立合理的空间直角坐标系，利用直线的方向向量求出夹角的余弦值，取绝对值即是异面直线所成的角的余弦值．解：因为四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系如图：则B（2,0，0），E（0,0,1），A（0,0,0），C（2,2,0）．则，所成的角的余弦值为．∴异面直线BE与AC所成角的余弦值．故选B．3.解：设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴

6、，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）∴=（0，2，1），=（0，2，-1），设异面直线AE与D1F所成角为θ，则cosθ=

7、cos＜，＞

8、=

9、0

10、=．故选B．设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．4.解：∵2+=（0，-3，-10），=（1，-2，-2），•=4，

11、

12、=12，∴=0×1+

13、（-3）×（-2）+（-10）×（-2）=26，∴=2=8+，∴=18．又

14、

15、==3，∴cos＜，＞===，∴＜，＞=．故答案为：．利用条件，通过向量的数量积求解＜，＞的余弦函数值，然后求出角的大小．本题考查空间向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．5.解：=（-2，-1，3），=（-1，3，-2），cos＜，＞===-，∴θ=＜，＞=120°．故答案为120°先分别求出与的坐标，再根据空间两向量夹角的坐标公式求出它们的夹角的余弦值，从而求出与的夹角θ．本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角、距离，考查空间想象能力，属于基础题．