《数列的通项公式》进阶练习（三）-1

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1、《数列的通项公式》进阶练习一、选择题1.在数列中，若A.13B.C.11D.2.数列的前n项和为，且满足，，（），则等于,（　　）A.B.C.D.3.数列满足，则A.B.C.D.二、填空题4.数列满足：为的前项和，则=___________.三、解答题5.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2，q≠0)．(Ⅰ)设bn=an+1-an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；(Ⅲ)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差

2、中项．参考答案1.  D       2.  B       3.  A       4.  .       5.  解：(Ⅰ)证明：由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2)，得an+1-an=q(an-an-1)，即bn=qbn-1，n≥2．又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)a2-a1=1，a3-a2=q，…an-an-1=qn-2，(n≥2)．将以上各式相加，得an-a1=1+q++qn-2(n≥2)．所以当n≥2时，上式对n=1显然成立．(Ⅲ)由(Ⅱ)，当q=1时，显然a3

3、不是a6与a9的等差中项，故q≠1．由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠0得q3-1=1-q6，①整理得(q3)2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1(舍去)．于是．另一方面，，．由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*．所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．       1.  解：故答案选：D.2.  根据 可得利用叠加的思想得到，即为新的等差数列，可得其前n项和为，故选择B。3.  本题考查数列的通向公式。由题意可以依次求出，从而产生循环，找到规律是3个数一循环，这8个数循环了两次还余2

4、个，则第一项应该是循环中第二个数，即.故选A。4.  解：由  ，n为奇数时，   ，n为偶数时，   ，.故答案为：.5.  (Ⅰ)整理an+1=(1+q)an-qan-1得an+1-an=q(an-an-1)代入bn中进而可证明{bn}是等比数列．(Ⅱ)由(Ⅰ)可分别求得a2-a1，a3-a2，…an-an-1，将以上各式相加，答案可得．(Ⅲ)由(Ⅱ)，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，判断q≠1．根据a3是a6与a9的等差中项，求得q．用q分别表示出an，an+3与an+6进而根据等差中项的性质可得结论．