《椭圆中的弦长问题》进阶练习（一）

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1、《椭圆中的弦长问题》进阶练习一、选择题1.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. B. C. D.2.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长

2、AB

3、等于(　　)A.2      B.4      C.6      D.83.设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（　　）A.1      B.      C.      D.2二、填空题4.椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶

4、点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______．5.已知P为椭圆C：上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为（1，3），则

5、PM

6、+

7、PF

8、的最小值为______．参考答案1.D    2.C    3.B    4.5.5．1.本题主要考查的是直线与椭圆的应用，熟悉点差法是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.解：设弦为AB，得：即所以这条弦所在的直线方程是故选D.2.试题分析：求出抛物线焦点为F(1，0)，准线为l：x=-1．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB的方程为y=k(x-1)，由AB方程与抛物线

9、方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出：x1+x2=，x1x2=1，由此算出P的坐标为M(，)，根据利用点到两点间的距离公式解出k2=2，从而算出x1+x2=4，最后根据抛物线的定义可得弦长

10、AB

11、的值．∵抛物线方程为y2=4x，∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为l：x=-1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=k(x-1)，由消去y，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，∴x1+x2=，x1x2=1，∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，∴设P的坐标为(x0，y0)，可得y0

12、=(y1+y2)，∵y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=k•-2k=，得到y0==，所以x0==，可得M(，)．∵，∴=，解之得k2=2，因此x1+x2==4，根据抛物线的定义可得

13、AB

14、=x1+x2+p=4+2=6．故选：C3.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py-2p=0，解得y1=-p+，x1=1+p-，y2=-p-，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即[（1+p）2-（p2+2p）]+[p2-（p2+2p）]=0，化简得2

15、p=1，即p=，从而A（，），B（，），

16、OA

17、2=x12+y12=5-2，

18、OB

19、2=x22+y22=5+2，△OAB的面积S=

20、OA

21、•

22、OB

23、==．故选B．联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．4.解：A是直角顶点所以直角边斜率是1和-1设A是（-2，0）所以一条是y=

24、x+2代入椭圆5x2+16x+12=0（5x+6）（x+2）=0x=-，x=-2（排除）x=-，y=x+2=所以和椭圆交点是C（-，）则AC2=（-2+）2+（0-）2=所以面积=AC2=故答案为根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和-1．设A是（-2，0）则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标，进而根据直线方程求得横坐标，进而可求得一直角边的长，最后根据面积公式可得三角形的面积．本题主要考查了椭圆的简单性质．本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题．对学生对问题的综合分析的能力要求很高．5.解：设椭圆的左焦点为：F1根据椭圆的第一定义

25、P

26、M

27、+

28、PF

29、=

30、PM

31、+2a-

32、PF1

33、=2a-（

34、PF1

35、-

36、PM

37、），∴

38、PM

39、+

40、PF

41、取得最小值时，即

42、PF1

43、-

44、PM

45、最大，如图所示：

46、PF1

47、-

48、PM

49、≤

50、MF1

51、=5，当P，M，F1共线且P在MF1的延长线上时，取得这个最大值．∴

52、PA

53、+

54、PF1

55、的最小值为：10-5=5．故答案为：5．先作出图形来，再根据椭圆的定义得出

56、PM

57、+

58、PF

59、=2a-（

60、PF1

61、-

62、PM

63、），将

64、PM

65、+

66、PF

67、的最小值转化为求

68、PF1

69、-

70、PM

71、的最大值，最后找到取得最值的状态求解．本题主要考查了椭圆的应用，考查学生的作图能力和应用椭圆的定义来求最值

72、的能力．解答本题的关键是将

73、PM

74、+

75、PF

76、的最小值转化成求

77、PF1

78、-

79、PM

80、最大，从而结合平面几何的性质