直线与椭圆的位置关系——弦长问题.docx

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1、直线与椭圆的位置关系——弦长问题晋江市养正中学张开春2020.12.24一、备考指导解析几何是高中数学的重要内容，高考主要考查直线与圆，椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点；其中弦长问题、最值问题、参数范围问题、定点定值问题、共线问题、存在性问题等都是解析几何的主要问题。重视考查运动与变化时研究几何问题的基本观点，考查利用代数方法研究几何问题是基本方法。强调综合性，强调考查数学思想方法（数形结合，函数与方程，化归与转化，特殊与一般），强调考查推理论证能力和运算求解能

2、力．二、学情和教学问题诊断本次授课的学生来自养正中学高三（12）班历史班的学生，学生基础一般，学生对圆锥曲线的基本性质有了一定认识，对直线与圆锥曲线的位置关系认识，从直线与圆的位置关系里有一定掌握，本节就从直线与椭圆的位置关系第一节课弦长问题开始，选取最基本的弦长问题，学生较易掌握的，从规范解析法，到条件的转化及弦长的应用开始.直线与圆锥曲线的位置关系，都是综合题，学生因需掌握多个知识点而出现困难，不知道从哪一个方面入手，对问题及条件的关系需要进一步理解，并找到解决的点，强化转化与化归的思想，逐步提升学生的逻辑推理能力.教学中可能遇

3、到的问题有：弦长公式推导，问题情境中条件的转化及判断出是弦长问题；计算化简的过程及综合问题最值的解决.三、教学目标分析基于上述教材和学情分析，确定本节复习课的教学目标如下：1.掌握直线与椭圆中的弦长公式，能对弦长正确运算；2.能从问题情境中分析、转化为弦长问题，并能进一步处理最值问题，渗透转化与化归的思想，强化解析法.重点：直线与椭圆中的弦长公式及应用；          难点：弦长公式的计算、能从问题情境中分析、转化为弦长问题，最值问题的处理.四、教学过程分析（一）教学流程设计环节一、知识回顾呈现直线与圆的弦长求法，并明确本节研究

4、内容.环节二、例题辩析明确直线与椭圆的弦长的求法及弦长公式的推导过程，并强调应用.环节三、提高应用在学生思考、交流及教师点拨的基础上，强调从问题情境中分析出弦长应用并解决问题.环节四、归纳小结学生的反思总结，突出对本节内容复习掌握情况，并归纳问题及方法.环节五、作业布置基于课堂复习内容，设计加以巩固，主要突出有关弦长问题的应用，加深对本节课内容以及学习方法的认识与体会.（二）教学过程设计一．知识回顾1．直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长AB=2r2-d2.(2)代数法:直

5、线l与圆有两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，解出两交点，用两点间的距离公式AB=(x1-x2)2+(y1-y2)22．直线被椭圆截得的弦长的求法?(完成下面问题)二．例题辩析例1已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线l与E交于A，B两点.问：当直线l的倾斜角为π3时，求弦长AB.解：由消去得：，解得，或代入直线得：，所以师：用两点间的距离公式AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2求弦长，有不同的想法吗？变式1：当弦长AB=165时，求直线l的方程.分析直线过已知一点，还差斜率，只要求出

6、斜率即可；用待定系数法设直线方程，直线的点斜式要注意没有包括直线垂直于轴，需要对直线的斜率分类.4A、B两点坐标不易求出，就要推导出弦长公式，A、B两点坐标设而不求，它是通过韦达定理进行表示，这是与问题一的最大区别，这是本题关键.解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得：由题设知：需设，则解得:②当直线的斜率不存在时，，不合题意舍去综上：直线的方程为：[总结反思]解决直线与椭圆相交时弦长问题：（1）联立直线与椭圆方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解;(2)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得

7、到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和,两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式进行求解.设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=1+k2·x1-x2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或AB=1+1k2·y1-y2=(1+1k2)[(y1+y2)2-4y1y2].当直线的斜率不存在时,AB=y1-y2.设计意图：①弦长公式的推导；②初步使用韦达定理，让学生理解韦达定理引入的作用，通过设而不求，对交点A、B的应用；③利用直线或椭圆方程，对相互转化；④利用韦达定理前

8、，需有两交点，则（这是今后学生易漏的点）；⑤学会直线方程的设法一：联立方程消，则用点斜式，此形式直线没有包括直线斜率不存在这种，故要讨论斜率存在与不存在（这是今后学生易漏的点）.师:有了弦长求法，在问题中能判断出有弦长问题，就要突出学