2020年高考文科数学《极坐标系与参数方程》题型归纳与训练

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1、2020年高考文科数学《极坐标系与参数方程》题型归纳与训练【题型归纳】题型一极坐标与直角坐标的互化例1（1）以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段的极坐标方程．（2）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线和交点的直角坐标．【答案】（1）.（2）【解析】（1）化成极坐标方程为即.∵，∴线段在第一象限内(含端点)，∴（2）因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为.由，得曲线的直角坐标方程为.由得，故曲线与曲线交点的直角坐标为．【易错点

2、】容易忽略参数范围【思维点拨】　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换．13题型二伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.(1)写出曲线的方程；(2)设直线：与的交点为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线

3、的极坐标方程．【答案】(1)曲线C的方程为.(2).【解析】　(1)设为圆上的点，在已知变换下变为曲线上的点，依题意，得，由得，即曲线的方程为.(2)由解得或不妨设，，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，13于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得，即.【易错点】伸缩变换易变错【思维点拨】　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．题型三参数方程与普通方程的互

4、化例1已知直线的参数方程为(参数)，圆的参数方程为(参数)，求直线被圆所截得的弦长．【答案】【解析】由，消参数后得普通方程为，由，消参数后得普通方程为，显然圆心坐标为，半径为.由于圆心到直线的距离为，根据勾股定理，所求弦长为.【易错点】参数方程化普通方程.13【思维点拨】本题考查直线和圆的联立问题，就是把参数方程转化为直角坐标系下的普通方程.例2在直角坐标系中，已知椭圆的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(参数)，直线垂直于直线且过椭圆的右焦点.（1）求椭圆的普通方程和直线的参数方程；（2）直线交椭圆于、两点，求．【答案

5、】（1）椭圆的方程为，直线的参数方程为(为参数).（2）.【解析】（1）椭圆中的，椭圆的方程为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的参数方程为(为参数)13（2）将直线的参数方程(为参数)代入椭圆的方程中得到关于的一元二次方程，设是所对应的参数，则根据参数的几何意义可知:【易错点】直线参数方程的表示要用标准形式，参数几何意义及参数的符号【思维点拨】线段长度与参数几何意义之间的联系考点四极坐标方程与参数方程的综合应用例1　在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）

6、若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为.（2）【解析】（1）因为，所以的极坐标方程为，13的极坐标方程为.（2）将代入，得，解得.故，即.由于的半径为1，所以为等腰直角三角形，所以的面积为.【易错点】第二问求三角形面积易化为直角坐标求点，求距离求面积，计算量大易错.【思维点拨】　(1)已知直角坐标方程化极坐标系方程直接运用公式带入化简即可；(2)注意运用极坐标求解．例2在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极

7、坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标系方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）的最小值为，此时的直角坐标为.13【解析】　（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为．因为是直线，所以的最小值即为到距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【易错点】解题方法选择不当导致计算量太大而出错.【思维点拨】与圆锥曲线有关的最值问题转化为参数形式比较容易求解.【巩固训练】题型一极坐标与直角坐标的互化1.在以

8、为极点的极坐标系中，圆和直线相交于，两点．当是等边三角形时，求的值．【答案】【解析】　由可得，即由可得.设圆的圆心为，与的两交点，与构成等边三角形，如图所示．由对称性知，.在中，易求，13∴点的坐标为．又∵在上，即，解得(舍去)或.2.已知圆的极坐标方程为，求圆的半径．【答案】【解析】由题