[工学]静电场及其边值问题的解法

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1、第3章静电场及其边值问题解法TheElectrostaticFieldandSolutionTechniquesforBoundary–ValueProblems主要内容静电场边值问题、惟一性定理镜像法分离变量法静电场基本方程与电位方程静电场中的介质、导体与电容1§3.1静电场基本方程与电位方程FundamentalEquationsofElectrostatic-Fieldandelectricpotentialequations3.1.1静电场的基本方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：（1）（2）（2.a）（3）（4）（4

2、.a）2§3.1静电场基本方程与电位方程3.1.2电位定义在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。1)电位的引出根据矢量恒等式２)与　的微分关系在静电场中，任意一点的电场强度的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。3§3.1静电场基本方程与电位方程设P0为参考点３)与　的积分关系4§3.1静电场基本方程与电位方程４)电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：

3、点电荷产生的电场：表达式无意义电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；5§3.1静电场基本方程与电位方程3.1.2电位方程1)泊松方程2)拉普拉斯方程解为:6§3.2静电场中的介质3.2.1介质的极化电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性分子有极性分子电介质的极化过程7§3.2静电场中的介质式中为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。用极化强度P表示电介质的极化程度，即C/m2电偶极矩体密度实验结果表明，在各

4、向同性、线性、均匀介质中——电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；8§3.2静电场中的介质3.2.2介质中的高斯定理,相对介电常数（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement）则有电介质中高斯定律的微分形式代入,得其中——相对介电常数；——介电常数，单位（F/m）在各向同性介质中D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。a）高斯定律的微分形式9§3.2静电场中的介质图示平行板电容器中放入一块介质后，其D线、E线和P线的

5、分布。•D线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；•P线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。•E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线D、E与P三者之间的关系10§3.3静电场中的导体静电场中的导体具有以下特征：导体内部各处电场强度为零导体内部不存在任何净电荷,电荷都一面电荷的形式分布于导体表面;导体为一等位体,其表面为等位面;导体表面切向电场为零,而只有法向电场分量,简单媒质中导体表面处的电场强度为:3.3.1静电场中的导体11§3.3静电场中的导体3.3.2电容定义电容:一、孤立导体的电容孤立导体球的电势:当R确定时,例:用孤立导体球要得到

6、1F的电容，球半径为大？单位:1F（法拉）=1C/V=RQ12§3.3静电场中的导体二、两个导体的电容求电容的两条途径1)先假定两导体带等量异号的电量Q,通过计算电场得出两导体间的电压U,然后计算出电容2)先假定两导体间的电压U,通过计算电场得出电量Q,然后计算出电容电容与电场强度的大小无关,但与电场强度的分布有关.电容值取决与导体的形状,尺寸以及介电常数13§3.3静电场中的导体三、几种典型的电容器及电容dS1)平行板电容器板间场强：电势差：电容：2)圆柱形电容器14§3.3静电场中的导体3)球形电容器15§3.4静电场中的边界条件3.4.1和的边界条件1、两种介质之间的边界

7、条件在交界面上不存在时，E、D满足折射定律。折射定律16§3.4静电场中的边界条件2、介质与导体之间的边界条件表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D就等于该点的自由电荷密度。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：17§3.4静电场中的边界条件3.4.2电位的边界条件1、两种介质之间的电位边界条件因此设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，,则表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，所以18§3.4