边值问题的数值解法.ppt

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1、8.6边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时，必须附加某种定解条件。定解条件通常有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。与边界条件相应的定解问题称为边值问题。本节介绍求解两点边值问题（8.6.1）（8.6.2）的数值解法。当关于和是线性时，式（8.6.1）为线性两点边值问题8.6.1打靶法打靶法的基本原理是将两点边值问题（8.6.1）转化为下列形式的初值问题（8.6.3）这里的为在处的斜率。令，上述二阶方程可降为一阶方程组（8.6.4）因此，边值问题变成求合适的，使上述方程组初值问题的解满足原边值问题的右端边界条件，从而得到边值问题的解。这样，把一个两点

2、边值问题的数值解问题转化为一阶方程组初值问题的数值解问题。方程组初值问题的所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键是如何去找合适的初始斜率的试探值。对给定的，设初值问题（8.6.3）的解为，它是的隐函数。假设随是连续变化的，记为，于是我们要找的就是方程的根。可以用第6章的迭代法求上述方程的根。比如用割线法有（8.6.5）这样，可以按下面简单的计算过程进行求解。先给定两个初始斜率，分别作为初值问题（8.6.4）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它们，分别得到区间右端点的函数的计算值和。如果或，则以或作为两点边值问题的解。否则用割线法（8.6.5）求，同理得

3、到，再判断它是否满足精度要求。如此重复，直到某个满足，此时得到的和就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程好比打靶，作为斜率为子弹的发射，为靶心，故称为打靶法。值得指出的是，对于线性边值问题（8.6.2），一个简单又实用的方法是用解析的思想，将它转化为两个初值问题：求得这两个初值问题的解和，若，容易验证(8.6.6)为线性两点边值问题（8.6.2）的解。例8.7用打靶法求解线性边值问题其解的解析表达式为。解先将该线性边值问题转化为两个初值问题令，将上述两个边值问题分别降为一阶方程组初值问题的打靶法计算值，部分点上的计算值、精确值和误差列于表8-12。

4、取h=0.02，用经典R-K法分别求这两个方程组解和的计算值和，然后按（8.6.6）得精确解iy1表8-120000000.2-0.0024079910.2040079890.20160000530.20160000000.4-0.0066550310.4322550240.42560000800.42560000000.60.0196724130.7099275710.72960000830.72960000000.80.1455295851.0640703851.20960000581.20960000001.00.4755701491.52442845

5、52.00000000002.00000000000例8.8用打靶法求解线性边值问题要求误差不超过，其解析解是。解对应于（8.6.4）的初值问题为对于每一个，取h=0.02，用经典R-K法求解。初选，求得=11.4889，则有。再选，求得=11.8421，则有。以作为割线法迭代初值，由割线法计算由此得，仍然不满足精度要求。由和用割线法得到。重复这个过程，直到，再求解相应的初值问题，得到，有。于是得到边值问题的解，打靶过程和边值问题的计算解分别列于表8-13和8-14表8-131.52.52.0032241.9999792.00000011.48891411.

6、84214111.66780511.66665911.6666672.08802.28.47636363788.47636363642.49.09333333529.09333333332.69.83692307859.83692307692.810.697142656210.69714285713.011.666666666911.6666666667表8-14计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数值方法的阶和所选取的步长h的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射值，有一定的局限性。差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用

7、差商代替导数，将微分方程离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间分成n等分，子区间的长度，分点。由8.6.2差分方法忽略余项，将差商分别代替（8.6.2）式中节点处的一阶和二阶导数，实现离散化。设，用近似表示，建立差分方程整理后得到关于的线性方程组（8.6.7）利用边界条件，将它们分别代入上面k=1和k=n-1的两个方程中，整理后得到关于的方程组(8.6.8)这是一个三对角方程组。若，且步长满足，则方程组（8.6.8）的系数矩阵是严格对角占优的。此时，方程组（8.6.8）的解存在惟一，用追赶法求解此方程

8、组时一定是数值稳定的，用Jacobi迭代法求解此方程