第8章 常微分方程边值问题的数值解法

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1、--第8章常微分方程边值问题的数值解法8.1引言第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。只含边界条件(boundary-valuecondition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-valueproblem).为简明起见，我们以二阶边值问题为例介绍常用的数值方法。一般的二阶常微分方程边值问题(boundary-valueproblemsforsecond-orderordinarydifferentialequations)为,(8.1.1)其边界条件为下列三种情况之一：(1)第一类边

2、界条件(thefirst-typeboundaryconditions)：(2)第二类边界条件(thesecond-typeboundaryconditions)：(3)第三类边界条件(thethird-typeboundaryconditions)：定理8.1.1设(8.1.1)中的函数及其偏导数,在上连续.若(1)对所有，有；(2)存在常数，对所有，有,则边值问题(8.1.1)有唯一解。推论若线性边值问题(8.1.2)---满足(1)和在上连续；(2)在上,,则边值问题(8.1.1)有唯一解。求边值问题的近似解，有三类基本方法：(1)差分法(differencemethod)，

3、也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解；(2)有限元法(finiteelementmethod)；(3)把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。8.2差分法8.2.1一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法设二阶线性常微分方程的边值问题为其中在上连续，且.用差分法解微分方程边值问题的过程是：(i)把求解区间分成若干个等距或不等距的小区间，称之为单元；(ii)构造逼近微分方程边值问题的差分格式.构造差分格式的方法有差分法,积分插值法及变分插值法；本节采用差分法构造差分格式；(iii)讨论差分解存在的唯一性、收敛性及稳定性；最后求解差分方

4、程.现在来建立相应于二阶线性常微分方程的边值问题(8.2.1),(8.2.2)的差分方程.(i)把区间等分，即得到区间的一个网格剖分：,其中分点，并称之为网格节点(gridnodes)；步长.(ii)将二阶常微分方程(8.2.2)在节点---处离散化：在内部节点处用数值微分公式(8.2.3)代替方程(8.2.2)中，得,(8.2.4)其中.当充分小时，略去式(8.2.4)中的，便得到方程(8.2.1)的近似方程,(8.2.5)其中,分别是的近似值,称式(8.2.5)为差分方程(differenceequation)，而称为差分方程(8.2.5)逼近方程(8.2.2)的截断误差(tr

5、uncationerror).边界条件(8.7.2)写成(8.2.6)于是方程(8.2.5),(8.2.6)合在一起就是关于个未知量，以及个方程式的线性方程组：(8.2.7)这个方程组就称为逼近边值问题(8.2.1),(8.2.2)的差分方程组(systemofdifferenceequations)或差分格式(differencescheme)，写成矩阵形式.(8.2.8)用第2章介绍的解三对角方程组的追赶法求解差分方程组---(8.2.7)或(8.2.8),其解称为边值问题(8.2.1),(8.2.2)的差分解(differencesolution).由于(8.2.5)是用二阶

6、中心差商代替方程(8.2.1)中的二阶微商得到的，所以也称式(8.2.7)为中心差分格式(centered-differencescheme).(iii)讨论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解是否收敛到边值问题(8.2.1),(8.2.2)的解，估计误差.对于差分方程组(8.2.7)，我们自然关心它是否有唯一解；此外，当网格无限加密，或当时，差分解是否收敛到微分方程的解.为此介绍下列极值原理：定理8.2.1(极值原理)设是给定的一组不全相等的数，设.(8.2.9)(1)若,则中非负的最大值只能是或；(2)若,则中非正的最小值只能是或.证只证(1)的情形，而(2)的情形可类

7、似证明.用反证法.记，假设,且在中达到.因为不全相等，所以总可以找到某个，使，而和中至少有一个是小于的.此时因为，所以,这与假设矛盾，故只能是或.证毕！推论差分方程组(8.2.7)或(8.2.8)的解存在且唯一.证明只要证明齐次方程组(8.2.10)只有零解就可以了.由定理8.7.1知，上述齐次方程组的解---的非负的最大值和非正的最小值只能是或.而，于是证毕！利用定理8.2.1还可以证明差分解的收敛性及误差估计.这里只给出结果：定理8.2.2设是差分方程组(8.2.