3静电场及其边值问题的解法

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1、第3章静电场及其边值问题的解法3.1/3.1-1一个半径为a，壁厚d极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为U0。当它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（drop）对无穷远处的电位Ud。若U0=20V，a=3cm，d=10μm，则Ud=?[解]均匀带电球在场点处电场可由高斯定理得出：故均匀带电球表面至无穷远处的电位为（1）得肥皂泡带电量为水滴上将载有相同的电量，其电位也由(1)式得出，只是其半径为b，该半径可根据肥皂泡壁体积求出：得从而有3.2/3.1-2空气中有一半径为a的球形电荷分布，已知球体

2、内的电场强度为（ra)c)取处为电位参考点，得53d)得证。得证。3.3/3.1.3空气中有一半径为a，体电荷密度为ρv的无限长圆柱体。请计算该圆柱体内外的电场强度。[解]与该圆柱体同轴作一半径为、长为L的圆柱面，取该圆柱面及其上下底面为高斯面，有高斯面内电荷量为，从而由高斯定理知得得3.4/3.1-4已知空气中半径为a的圆环上均匀

3、地分布着线电荷，其密度为ρl，位于z=0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。[解]圆环上点电荷在P(0,0,z)处产生的电位为故3.5/3.1-5已知空气中半径为a的圆盘上均匀地分布着面电荷，其密度为ρs，位于z=0平面，试求其轴线上任意点P（0，0，z）处的电位和电场强度（参看图2.1-7，注意与之不同）。53[解]在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，其电荷量为。故该圆环在P点产生的电位为3.6/3.2-1在均匀介质内部任意点处，体束缚电荷密度总

4、等于该处体自由电荷密度ρv的()倍，请证明之。[证]由式(3.2-6)，代入式(3.2-10)及式(3.1-2)知得证。3.7/3.2-2已知空气中有一导体球，半径为a，带电量为Q，其外面套有外半径为b、介电常数为ε的介质球壳。试求：a)rb各区域的和；b)介质球壳中的体束缚电荷密度和其内外表面处的面束缚电荷密度。[解]a)利用高斯定理，取半径为r的球面为高斯面，得rb:b)533.8/3.2-3平行板电容器的宽和长分别为a、b，两极板间距为d<

5、a)电容器的左半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充，b)电容器的下半空间（0~）用介电常数为ε的介质填充；另一半均为空气。请分别对a)、b)求下极板上的电荷密度及介质下表面的束缚电荷密度（参看题图3-1）。(a)(b)题图3-1二平行板电容器[解]a)方向:(上极板为正电荷,下极板为负电荷),(为方向，即介质表面外法线方向)又当时,介质表面束缚电荷:b),,方向:,又,于是:;,53(上极板带正电荷,下极板带负电荷)时,束缚面电荷密度为:时,介质表面外法线方向为,所以:3.9/3.2-4一均匀带电无限

6、长直导线，其线电荷密度为ρl=10-8C/m2，已知距导线10cm处的极化强度P=1.27×10-8C/m，求导线周围介质的介电常数ε。[解]因源为无限长直导线,故电场分布具有对称性，应用高斯定理:得:在-(库/米2)则,3.10/3.3-1对图3-1(b)所示平行板电容器，，求：a)二区域的电场强度和电位函数；b)电容，设平板面积为A0。[解]a)故,得53取下极板为零电位，则校：b)极板上面电荷密度为其电荷量为故电容量为3.11/3.3-2对图3-1（a）所示平行板电容器，ε=3ε0，求其电容，设平

7、板面积为A0。[解]故极板上面电荷密度为，其电荷量为故电容量为3.12/3.3-3对图3.1-3所示平行双导线，若左侧导线半径为a，而右侧导线半径为b，二者轴线相距d>>b>a，求其单位长度电容C1；若a=b，则C1=？[解]因d>>b>a，按例3.1-3同样的推导得空间任意点处电位为53双线间电位为故单位长度电容为若a=b，则3.13/3.3-4对图3.4-2(a)所示同轴线，其内外导体半径分别为a、b，中间充填介电常数分别为的二层介质，分界面半径为c。求：a)二介质区域的电位函数和；b)单位长度电容

8、C1。[解]a)由例3.4-1知，二介质区域电场强度分别为，取外导体为零电位，则b)由例3.4-1知，外导体表面线电荷密度为53故单位长度电容为3.14/3.3-5对图3.4-2(b)所示同轴线，其外导体半径分别为a、b，部分填充介电常数为的介质，其余部分介电常数为。求单位长度电容C1。[解]由例3.4-1知，二区域的电场强度和其导体表面线电荷密度分别为，取外导体为零电位，则故单位长度电容为当，得3.15/3.3-6参看图3.3-5，设导线