《静电场的边值问题》PPT课件

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1、第三章静电场的边值问题主要内容：电位微分方程（泊松方程、拉普拉斯方程），三类边值问题，镜像法，分离变量法。3-1电位微分方程已知，电位与电场强度E的关系为对上式两边取散度，得对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为1.泊松方程和拉普拉斯方程1那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为该方程称为泊松方程。对于无源区，上式变为上式称为拉普拉斯方程。2.边值问题静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。2通

2、常给定的边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的电位，这种边值问题又称为狄利克雷问题。第二类边界条件是给定边界上电位的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的电位及另一部分边界上电位的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或

3、电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。该定理适用于非线性介质。3证明唯一性定理：　（反证法）设静电场存在的区域为V，其边界表面为S，如果在给定的第一类或第二类边界条件时，V中存在两个电位　　及　　均满足泊松方程，即令：　　　　　　，则有利用第一标量格林定理，并令　　　　　　　，有1、如给定边界的电位，即边界S上的电位差即为0。则即　　　　　　所以，　　　　　区域V中不可能存在两个电位。得证。2、如给定边界的电位的法向导数，同理可证。43-2镜像法实质:是以一

4、个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：边界必须是封闭的，才有可能确定其镜像电荷。镜像法是求解静电场问题的一种方法。51.点电荷与无限大的导体平面。介质导体qrP介质qrP（x,y,z）hh介质以一个处

5、于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q及q'共同产生，即考虑到无限大导体平面的电位为零，求得在平面边界上任一点,有6电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。电场线等位线z7电荷守恒：当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异

6、性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。8q对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为的导电劈需引入5个镜像电荷。/3/3q连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。9fqo（2）点电荷与导体

7、球面。Padrq若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q'位于球心与点电荷q的连线上。那么，球面上任一点电位为为了确定q和d，则有另外，比值对球面上任一点必须具有同一数值。因此，10镜像电荷离球心的距离d应为这样，球外空间任一点的电位为fqOPadrq由此获知镜像电荷的大小在球坐标系下考虑，球心为原点，z轴与oq重合，则可求得球外任一点的电场强度同样的，总的感应电荷等于镜像电荷。11若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球

8、表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷q'后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q“必须位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q及q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以