玉林师范学院期末课程考试10-11年度高等代数下半册a(叶...

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1、∞考试时间5、在欧氏空间V中，如果两个向量α,β线性相关，则有（）。玉林师范学院期末课程考试试卷（A）:2011年01月10日22上午（2010——2011学年度第一学期）(A)(α,β)=(α,α)(β,β)(B)(α,β)<(α,α)(β,β)2座位号(C)(α,β)>(α,α)(β,β)命题教师：命题教师所在系：数计系试卷类型：（A）6、设n维欧氏空间V的两组基α,α，…，α和β,β,,β的度量矩阵分12n12n课程名称：高等代数II考试专业：数学(本)科考试年级：2009别是A和B，则（）。题号一二三四五总分姓名:应得分1221491

2、8满分：100(A)A与B相等(B)A与B合同(C)A与B相似题实得分评分：评卷人得分评卷人二、填空题（每小题3分，共21分）签名答:得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，总计12分，请将你认1、在欧氏空间R4中，向量α=(1,1,1,1)与β=(1,1,1,−1)的学号为正确的序号填在该题后的括号内）夹角是。要不3线1、设n维线性空间V的两个子空间W,W满足条件V=W⊕W，则下列式2、欧氏空间R的基α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(0,1,1)的1212∞子不成立的是（）。度量矩阵是。班别:内2(A)WW={0}（B）V=

3、W+Wλ(λ+1)0012123、设3级λ-矩阵A(λ)经初等变换化为0λ(λ+1)0，则A(λ)线(C)维数(W1)+维数(W2)

4、)=(2x,x+x+x,x)，则在基ε=（1，1231123314、n级λ-矩阵A(λ)是一个可逆矩阵的充分必要条件是（）。0，0），ε=（0，1，0），ε=（0，0，1）下的矩阵为__________(A)秩A(λ)=n；(B)行列式

5、A(λ)

6、≠0；23院):(C)行列式

7、A(λ)

8、等于一个非零的数。6、设V,V是线性空间V的两个子空间，若向量α∈V+V，则α=_____系(1212——————————————————————————————————————————————————————∞数学与应用数学2009级《高等代数II》试卷（A）

9、第1页（共4页）_____。ab−17、设A=是一个n级正交矩阵，则A=______，

10、A

11、=_____cd得分评卷人三、计算题(共计49分)3111、（18分）已知实对称矩阵A=131.113（1）求A的特征值和相应的特征向量；（10分）2222、t取何值时，实二次型f(x,x,x)=x+2x+4x+2txx+2xx是正定−11231231223（2）求正交矩阵T，使得T′AT=TAT成为对角矩阵。（8分）的。（7分）2λλ1−λ3、化λ−矩阵A(λ)=−λλλ为标准形。（7分）

12、222−λλ1+λ数学与应用数学2009级《高等代数II》试卷（A）第2页（共4页）3085、（10分）在线性空间P3中，已知两组基4、求复数矩阵A=3−16的若尔当标准形。（7分）−20−5α1=（1，1，1），α2=(1，1，0)，α3=（1，0，0）和β=（0，1，2），β=（2，0，1），β=（1，2，0）。123（1）求由α，α，α到β，β，β的过渡矩阵；（6分）123123（2）求向量α＝(1，3，1)在基α，α，α下的坐标。（4分）123数学与应用数学2009级《高等代数II》试卷（A）第3页（共4页）2

13、、设ε是欧氏空间V的一个单位向量，定义V的一个变换如下：(α)=α−2(α,ε)ε。四、证明题（共计18分）(1)证明：是V的一个线性变换（3分）；1、设ε1,ε2,ε3,ε4是4维欧氏空间V的一组标准正交基.令(2)证明：是V的一个正交变换（3分）。11α=(ε+ε+ε+ε),α=(ε+ε−ε−ε),11234212342211α=(−ε+ε+ε−ε),α=(ε−ε+ε−ε).312344123422证明：α,α,α,α是欧氏空间V的一组标准正交基（6分）12343、设,是线性空间V的两个线性变换，满足。−1证明：（1）的核(0)是线性变换的

14、不变子空间；（3分）（2）的值域V是线性变换的不变子空间。（3分）数学与应用数学2009级《高等代数II》试卷（A）第4页（共4页）