高等代数高等代数I期末考试B卷答案.doc

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1、北京交通大学2009-2010学年第一学期《高等代数I》期末考试试卷（B）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、设多项式，用除时余式为3，用除时余式为5，则用除时余式为x+2.2、已知n阶方阵的行列式＝，则.3、已知A是一个矩阵，且秩，而，则秩2.4、设矩阵A，则(A*)-1.5、把n阶实对称矩阵按合同分类，共有类.二、判断题（每小题2分，共10分）【×】1、两个多项式的最大公因式是唯一的。【√】2、设A、B为n阶方阵，其中A可逆。若

2、AB

3、>0,则B亦可逆。【√】3、设A为n×m矩阵，B为m×n矩阵。若AB的秩为m,则A的秩与B的秩相等。【√】4、设A为r×r矩阵，B为

4、r×n矩阵，且B的秩为r。若AB=O,则A=O。【×】5、若存在实方阵Q,使得,则A正定。第8页共8页三、单项选择题（每小题3分，共15分）【C】1、对n元实二次型,则必有A.f的秩为2;B.f的秩为0;C.f的秩为2，符号差为0;D.f的秩为1【A】2、设则向量组的秩向量组的秩。A.等于;B.大于;C.小于;D.不确定【A】3、设A、B为n阶正定矩阵，则下列矩阵为正定的有A.A+B;B.A-B;C.AB,D.BA.【A】4、设有4阶行列式，是的代数余子式，则等于A.0;B.12;C.268;D.1【A】5、设n维向量组的秩为3，且满足则向量组的一个极大无关组为（）A．；B．；C.；D..

5、四、计算题（六小题，共48分）1、（7分）第8页共8页解：把第二行的-1倍加到其它各行得：原式=--------4分按第一行展开-----------7分2、（7分）计算n阶行列式解：把各列的1倍加到第一列得：原式=--------3分把第一行的-1倍加大其它各行得原式=。-----------7分第8页共8页3、（7分）设有多项式。(1)求的有理根；(2)分别在实数域、复数域上将分解成不可约多项式的乘积。解（1）有理根为–1，3，---------3分（2）在实数域上------5分在复数域上---------7分4、（7分）已知矩阵,且,其中是4阶单位矩阵，求。解：由得，-------

6、--3分因为,所以可逆，----------------------6分所以，。-------------7分第8页共8页5、（10分）化二次型为标准形，并写出相应的非退化线性替换。解因为无平方项无法配方，先做一个非退化线性变换，使其出现平方项令，即-----------2分这样原式化为-----5分再令------------7分则可得该二次型的标准型为--------------------------8分相应的非退化线性替换------------------10分第8页共8页6、（10分）讨论a取何值时，方程组。有唯一解，无解，有无穷多解；并在有无穷多解的情况下，求出其通解。解：1

7、）方程组有唯一解：-----------------2分2）当时，，所以原方程组无解;……5分3）当时，，故此时有穷多解。且，其通解为：(为任意实数)。………10分五、证明题（每小题6分，共12分）第8页共8页1、设为素数，证明在有理数域上是不可约的；证明：因为的判别式小于0，所以无实根，--------4分因而无有理根，从而在有理数域上不可约。--------6分2、设为2阶方阵，满足，其中是一个大于等于2的正整数。求证：。证明：因为，所以不可逆。故的秩小于2。--------1分若的秩为0，则，结论显然成立。----------2分若的秩为1，则可设。--------4分这样。从而必有

8、，导致。-------------5分由于,所以。-------------6分第8页共8页第8页共8页