高等代数样卷

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1、诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《高等代数》课程考试卷（A）2008——2009学年第1学期姓名学号班级得分一．填空题（每空3分，共24分）1.最小的数域是___________。2.如果一个实系数多项式有一个根23+i，其中i=−1，那么它一定还有一个根是________________。−13.设A为3阶方阵，已知A=2，则A*=，−2A=。aaa11121naaa21222n4.已知n阶行列式D=，bb,,,b为常数，若Dc=，则12naaan12nnn2ababbabb11112

2、121nn12abbababb21212222nn2D=的值为（）。12abbabbabn1122nnnnnn5.如果n元方程组AX=0系数矩阵A的秩为r，则基础解系所含解向量的个数（）。k6.若存在自然数k使得A=0，则A的特征值是__________。1107.若是正定矩阵，则k满足条件__________________。A=1k000k2二．单选题（每题2分，共12分）1．设A,B为n阶方阵，则（）（A）

3、A

4、≠0或

5、B

6、≠0，必有

7、AB

8、≠0；诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。

9、(B)

10、A

11、=0或

12、B

13、=0，必有

14、AB

15、=0；（C）

16、A

17、≠0且

18、B

19、≠0，必有

20、A+B

21、≠0；（D）

22、A

23、=0且

24、B

25、=0，必有

26、A+B

27、=0。2．下面哪个条件不是n阶方阵A可逆的充分必要条件（）(A)齐次线性方程组AX=0只有零解；(B)A的行列式不等于零；(C)A有一个列向量不能被其余列向量线性表示；(D)A可以表示成若干个初等矩阵的乘积。3．若A与B相似，则（）（A）λE−A=λE−B；(B)

28、A

29、=

30、B

31、；(C)对于相同的特征值λ，矩阵A与B有相同的特征向量；（D）A与B相似于同一个对角矩阵。4．实对称矩阵A正定的充分必要条件是（）（A）

32、A

33、>

34、0；T(B)存在n阶可逆矩阵C使得ACC=；（C）主对角线元素都大于零；（D）对某一个TTX=≠>(,,,)0xxx，有XAX0。12n5．设A，B均为n阶矩阵，则必有____。(A)

35、A+B

36、=

37、A

38、+

39、B

40、；（B）AB=BA；−1−1−1(C)

41、AB

42、=

43、BA

44、；(D)(A+B)=A+B．6．如果ααα,,是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，那么下面哪123一个也是该方程组的基础解系()：（A）αααααα+++,,；122331（B）αααααα+,,−−−；122331诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。（C

45、）−+αααααα,,−−；122331（D）αααααα−−−,,。122331301三．计算题（1４分）设AB=A+2B，且A=110，求B。014四．（16分）设n阶可逆矩阵A的一个特征值为5，其伴随矩阵为A*,求证（1）A−11；有一个特征值5

46、

47、A（2）A*的一个特征值为;5T(3)5A的一个特征值为25.五．（１0分）证明：所有三阶上三角矩阵的全体对于矩阵的加法和数乘构成一个子空间，写出该子空间的一组基并将每一个三阶上三角矩阵写成它们的线性组合。六．（１0分）证明：如果向量组αα,,,α线性无关，向量组ββ,,,β可由12

48、s12tαα,,,α线性表示，即12s(,,,)(,,,)βββ=αααA12ts12其中A是一个st×矩阵。证明：向量组ββ,,,β的秩与矩阵A的秩相同。12t七．（14分）用正交变换法将二次型222fxxx(,,)=++−+−x4x4x4xx4xx8xx123123121323化成标准形。