高等代数期末卷1及答案

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1、班级：学号：姓名：装订线沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷（1）题号一二三四五六七总分得分得分一、填空（共35分，每题5分）1．设,则69_..2．当_2,-2.时,有重因式。3.令,是两个多项式,且被整除,则0_,_0.4.行列式23。5.矩阵的积。6.7.的一般解为,任意取值。《高等代数Ⅰ》试题（第4页，共4页）得分二、（10分）令,是两个多项式。求证当且仅当。证：必要性.设。（1%）令为的不可约公因式，（1%）则由知或。(1%)不妨设，再由得。故矛盾。(2%)充分性.由知存在多项式

2、使,(2%)从而,(2%)故。(1%)得分三、(16分)取何值时，线性方程组有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解：(5%)当时，有唯一解：(4%)当时，有无穷解：任意取值；当时，有无穷解：任意取值；(3%)当或时，无解。(4%)《高等代数Ⅰ》试题（第4页，共4页）得分四、(10分)设都是非零实数，证明证:对n用数学归纳法。当n=1时,,结论成立(2%);假设n-1时成立。则n时==(4%)现由归纳假设有===,(3%)故由归纳原理结论成立。(1%)得分五、(10分)证明在有理数域上不可约。

3、证:令得(1%)。(3%)取素数p=2满足且2不整除1,4不整除2.(2%)再据艾茵斯坦茵判别法知在有理数域上不可约，（2%）《高等代数Ⅰ》试题（第4页，共4页）从而在有理数域上不可约（2%）得分六、（9分）令为数域上秩为的矩阵，。求证：存在秩为的矩阵和秩为的矩阵,使得。证:为数域上秩为的矩阵，,则存在可逆阵P和可逆阵Q使.（3%）进而令（4%）就得（2%）.得分七、（10分）设,是矩阵,且,可逆。求证矩阵可逆,且求。证:，故P可逆（5%）令有.（1%）进而（1%），解得（3%）《高等代数Ⅰ》试题（第4

4、页，共4页）