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1、装订线装订线内不要答题学号姓名班级东北大学秦皇岛分校课程名称：高等代数（二次型1）试卷：(A)答案考试形式：闭卷授课专业：信息与计算科学考试日期：2010年5月试卷：共2页题号一二三四五六七八总分得分阅卷人第五章二次型1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果：1）2）3）4）5）6）7）2．证明：秩等于的对称矩阵可以表成个秩等于1的对称矩阵之和。3．证明：与合同，其中是的一个排列。4．设是一个阶矩阵，证明：1）是反对称矩阵当且仅当对任一个维向量，有。2）如果是对称矩阵，且对任一个维向量有，那么。-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级5．如果把实阶对称矩阵按合同
2、分类，即两个实阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是：它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1。7．判断下列二次型是否正定：1）2）3）4）-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级8．取什么值时，下列二次型是正定的：1）2）9．证明：如果是正定矩阵，那么的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与列指标相同的子式。10．设是实对称矩阵，证明：当实数充分大之后，是正定矩阵。11．证明：如果是正定矩阵，那么也是正定矩阵。12．设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使。13．如果都是阶正定矩阵，证明
3、：也是正定矩阵。-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。15．证明：是半正定的。16．设是一实二次型，若有实维向量使，17．是一个实矩阵，证明：-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级一、补充题1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）2）3）4），其中2.设实二次型证明：的秩等于矩阵的秩。2．设其中是的一次齐次式，证明：的正惯性指数，负惯性指数。-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级1．设是一对称矩阵，且，证明：存在使，其中表示一个级数与相同的矩阵。4.设是反对称矩阵，证明：合同于矩阵5.设是阶实
4、对称矩阵，证明：存在一正实数，使对任一个实维向量都有7．主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1）设是一对称矩阵，为特殊上三角矩阵，而，证明：与的对应顺序主子式有相同的值；2）证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵使成对角形；3）利用以上结果证明：如果矩阵的顺序主子式全大于零，则是正定二次型。-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级8。证明：1）如果是正定二次型，那么是负定二次型；2）如果是正定矩阵，那么这里是的阶顺序主子式；3）如果是正定矩阵，那么4）如果是阶实可逆矩阵，那么9。证明：实对称矩阵是半正定的充分必要条件是的一切主子式全大于或等于零（所谓阶
5、主子式，是指形为的级子式，其中）。这与时为正定矩阵矛盾，故为半正定矩阵。-9-装订线装订线内不要答题学号姓名班级第六章 线性空间与线性变换1.验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.(1)2阶矩阵的全体S1;(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2;(3)2阶对称矩阵的全体S3.2.验证:与向量(0,0,1)T不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.3.设U是线性空间V的一个子空间,试证:若U与V的维数相等,则U=V.4.设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间,a1,a2,×××,ar是Vr的一个基.试证:Vn中存
6、在元素ar+1,×××,an,使a1,a2,×××,ar,ar+1,×××,an成为Vn的一个基.5.在R3中求向量a=(3,7,1)T在基a1=(1,3,5)T,a2=(6,3,2)T,a3=(3,1,0)T下的坐标.6.在R3取两个基a1=(1,2,1)T,a2=(2,3,3)T,a3=(3,7,1)T;b1=(3,1,4)T,b2=(5,2,1)T,b3=(1,1,-6)T.试求坐标变换公式.装订线装订线内不要答题学号姓名班级7.在R4中取两个基e1=(1,0,0,0)T,e2=(0,1,0,0)T,e3=(0,0,1,0)T,e4=(0,0,0,1)T;-9-a1=(2,1,-1,1
7、)T,a2=(0,3,1,0)T,a3=(5,3,2,1)T,a3=(6,6,1,3)T.(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;(2)求向量(x1,x2,x3,x4)T在后一个基下的坐标;(3)求在两个基下有相同坐标的向量.8.说明xOy平面上变换的几何意义,其中(1);(2);(3);,(4).9.n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间.给出n阶矩阵P,以A表示V中的任一元素,变换T(A
