高等代数习题及答案(1)

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1、高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、若是数域上的不可约多项式，那么在中必定没有根。（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。（）3、实二次型正定的充要条件是它的符号差为。（）4、是线性空间的一个子空间。（）5、数域上的每一个线性空间都有基和维数。（）6、两个元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（）7、零变换和单位变换都是数乘变换。（）8、线性变换的属于特征根的特征向量只有有限个。（）9、欧氏空间上的线性变换是

2、对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）10、若是欧氏空间的标准正交基，且，那么。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（）①；②；③；④若。2、设是一个阶行列式，那么（）①行列式与它的转置行列式相等；②中两行互换，则行列式不变符号；③若，则中必有一行全是零；④若，则中必有两行成比例。3、设矩阵的秩为>，那么（）①中每个<阶子式都为零；②中每个阶子式都不为零；③中可能存在不为零的阶子式；④中

3、肯定有不为零的阶子式。4、设为元实二次型，则负定的充要条件为（）①负惯性指数=的秩；②正惯性指数=0；③符号差=；④的秩=。5、设是线性空间的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（）①任一组不全为零的数，都有；②任一组数，有；③当时，有；④任一组不全为零的数，都有。6、若都是维线性空间的子空间，那么（）①维+维=维+维；②维=维+维；③维+维=维+维；④维-维=维-维。7、设是维线性空间的线性变换，那么下列错误的说法是（）①是单射的亏=0；②是满射的秩=；③是可逆的核=；④是双射是单位变换。8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）①合同的；②相似的；③相等的；④正

4、交的。9、设是维欧氏空间，那么中的元素具有如下性质（）①若；②若；③若；④若>。10、欧氏空间中的标准正交基是（）①；②；③；④三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空2分，共20分）1、多项式在实数域上的标准分解为。2、利用行列式的性质可知四阶行列式的值为。3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于。4、在线性空间中，定义（其中是中一个固定向量），那么当时，是的一个线性变换。5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。。6、阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为类。7、若基Ⅰ到

5、Ⅱ的过渡矩阵为，而向量关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为和，那么着两个坐标的关系是。8、设是线性空间的非空子集，若对的加法和数乘，则称为的子空间。9、若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵为。10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。3、设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。4、若

6、都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。五、计算题（每小题10分，共40分）1、计算阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解3、解矩阵方程4、设是的一个基，而是另一组基，求由到的过渡矩阵，并求向量在下的坐标。六、证明题设是三维欧氏空间的一个标准正交基，试证：也是的一个标准正交基。高等代数试卷参考解答一、判断题12345678910××√√×√√×√√二、单项选择题12345678910②①④③①④④②③①三、填空题1、；

7、2、；3、4；4、0；5、正交；6、；7、；8、封闭；9、；10、相同的维数。四、改错题1、如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。是的因式且是的重因式2、若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。当AX=B有解时，AX=B也有无穷多解3、设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“A的第三列乘5加到第四列”的初等变换。A的第4列乘5加到第3列4、若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。当时时，是的属于的特征向量5、设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。必要条

8、件