高等代数课件期末答案.doc

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1、期末考试参考答案及评分标准一、填空题（每小题4分，共12分）1．142．①n-r，②r3.n+1二、（20分）解：1．原二次型对应的矩阵为（3分）2．A的特征多项式为特征值为相应的特征向量为相应的特征向量为（7分）3．标准正交基为令X=TY,其中则（7分）4．二次型的正惯性指数p=2>0，且负惯性指数q=2>0，所以二次型是不定的．（3分）三、（12分）解：取的一组基，则答案第3页共4页=（4分）秩(A)=2，第1、2列向量是A列向量组的一个极大无关组，所以，是其一组基．（8分）四、（13分）解：1．＝A的不变因子为1，，初等因子为（8

2、分）2．A的若尔当标准形为（5分）五、（10分）证：首先，A´A为n级实对称矩阵.　，，由于AX＝0，只有零解，所以，，设，即不全为零.则有即，故A´A正定.（5分）假若齐次线性方程组AX＝0有非零解，答案第3页共4页即，从而有，与A´A正定矛盾.∴齐次线性方程组AX＝0，只有零解.（5分）六、（10分）证：对任意的，有其中，，容易验证，，所以，即有.（6分）若，则，，所以，即，所以.（4分）七、（11分）证：由线性无关，有线性相关，且能由线性表出.　设则其中（5分）令则T可逆，且　即A与B相似.若是A的特征值，则有但其中有一个n－1级

3、子式不为0.　∴秩，从而秩故的基础解系只含一个向量.　　即A的属于的线性无关的特征向量只有一个.（6分）答案第3页共4页八、（12分）证：“”：因为，T是正交阵，故T是可逆矩阵，则A与B相似。而相似矩阵具有相同的特征值，所以A与B有相同的特征值.（4分）“”：A与B有相同的特征值，设为.A、B都是实对称矩阵，所以存在正交阵P、Q，使得，所以，从而.令，则。而P、Q是正交阵，所以，所以也是正交阵，即T是正交阵。（8分）答案第3页共4页